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»DETERMINANTS

Le calcul des déterminants d'ordre n, en partant de la définition, ou de leurs

propriétés, constitue le but de ce chapitre, dont l'utilité est rencontrée dans la

résolution des équations linéaires, dans la présentation sous une forme

unitaire et facile à etre retenue, de pas mal de formules de géométrie

analytique et pas seulement.

THEORIE

Date de la publication: : 08.01.2009

Définition du déterminant (d'ordre n):

Etant donnée une matrice carrée d'ordre n de la forme A = (aij)

où i, j appartiennent à l'ensemble {1, 2, ... ,n} c'est-à-dire

$A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),$ A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),

on appelle déterminant associé à la matrice A le nombre noté:

${det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.$ {det(A)}=\sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.

Cas particuliers:

$n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};$ n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};
${ n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=$ { n=3}\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|= $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},$ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},

résultat obtenu par la règle de Sarrus, ou par la méthode des triangles.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 21.08.2010

Support théorique:

Définition du déterminant d'ordre 6, nombre des inversions et le signe d'une permutation.

Enoncé:

Quel signe précède le terme a15a23a34a41a52a66

du développement d'un déterminant d'ordre 6?

Réponse:

Signe +.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 03.11.2010

Support théorique:

Définition du déterminant d'ordre n, inversions, signe d'une permutation, permutation impaire.

Enoncé:

Calculer le terme du développement du déterminant suivant, qui contient les

éléments a13, a25, a32, a51:

$\Delta=\begin{vmatrix}-1&2&-3&4&-5\\2&-3&4&-5&1\\-3&4&-5&1&-2\\4&-5&1&-2&3\\-5&1&-2&3&-4\end{vmatrix}.$ \Delta=\begin{vmatrix}-1&2&-3&4&-5\\2&-3&4&-5&1\\-3&4&-5&1&-2\\4&-5&1&-2&3\\-5&1&-2&3&-4\end{vmatrix}.

Réponse:

120.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 16.06.2011

Support théorique:

Calcul d'un déterminant, propriétés des déterminants.

Enoncé:

Montrer que:

$\Delta=\begin{vmatrix}x+y&-x&x+z\\x+z&y+z&-z\\-y&y+z&x+y\end{vmatrix}=(x+y+z)^3.$ \Delta=\begin{vmatrix}x+y&-x&x+z\\x+z&y+z&-z\\-y&y+z&x+y\end{vmatrix}=(x+y+z)^3.

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LE ROUMAIN

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EXEMPLE 1

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