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»ELEMENTS DE LOGIQUE MATHEMATIQUE

Le langage mathématique rigoureux et les méthodes du raisonnement

logique, utilisés dans la résolution des exercices et problèmes, aussi bien que

dans le parcours du chemin de l'hypothèse à la conclusion, nous offrent la

certitude que les déductions abordées sont correctes.

La maitrise des opérations logiques élémentaires (négation, disjonction,

conjonction, implication, équivalence) c'est une exigence d'une extrème

importance dans la construction des propositions mathématiques.

THEORIE

Date de la publication: : 31.07.2010

DEFINITIONS:

Proposition:

Un énoncé qui affirme ou nie quelque chose et qui est soit vrai, soit faux.

On distingue 2 types de propositions:

1) Proposition simple: proposition qui ne comporte qu'un seul sujet, un seul verbe et

un seul atribut.

Exemple:

"Le nombre 24 est divisible par 8" (proposition, évidemment, vraie).

2) Proposition composeé: proposition obtenue par combinaison de propositions

simples, à l'aide de connecteurs logiques: négation, disjonction et conjonction.

Exemple:

"(L'équation x² + 1 = 0 a des racines réelles dans l'ensemble des nombres réels) ou

(25 est un carré parfait)" (disjonction d'un prédicat faux et une propositions vraie).

Valeur de vérité:

C'est la propriété d'une proposition (p) d'etre soit vraie soit fausse.

Conventionnellement, on la note par v(p) et v(p) = 1 (ou A) si la proposition (p) est

vraie et v(p) = 0 (ou F) si la proposition est fausse.

Prédicat (proposition aux variables, ou proposition ouverte):

Proposition dont la valeur de vérité dépend des valeurs atribués aux variables;

lorsqu'on définit un prédicat il faut toujours spécifier aussi l'ensemble parcouru par la

(les) variable(s), nommé l'univers du discours.

Exemple: "L'équation 2x + 10 = 0, où x appartient à l'ensemble des nombres

réels" est un prédicat à une seule variable (nommé aussi prédicat unaire), qui devient

une proposition vraie pour x = - 5 (ayant, donc, la valeur de vérité égale à 1), ou une

proposition fausse pour n'importe pas quelle autre valeur attribuée à x (ayant la valeur

de vérité égale à 0).

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 04.08.2010

Support théorique:

Négation d'une disjonction, négation d'une conjonction, table de vérité.

Enoncé:

Démontrer que:

1) La négation d'une disjonction de 2 propositions est équivalente à la conjonction de

leurs négations, à savoir:

$\overline{{p}\vee{q}}\Leftrightarrow{{\bar{p}}\wedge{\bar{q}}};$ \overline{{p}\vee{q}}\Leftrightarrow{{\bar{p}}\wedge{\bar{q}}};

2) La négation d'une conjonction de 2 propositions est équivalente à la disjonction de

leurs négations, à savoir:

$\overline{{p}\wedge{q}}\Leftrightarrow{{\bar{p}}\vee{\bar{q}}}.$ \overline{{p}\wedge{q}}\Leftrightarrow{{\bar{p}}\vee{\bar{q}}}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 15.12.2010

Support théorique:

Implication et équivalence logique, raisonnement par récurrence, divisibilité dans l'ensemble des nombres naturels.

Enoncé:

Démontrer que pour tout nombre naturel n, l'expression

$E(n)=n^4+n^3+2n^2+2n$ E(n)=n^4+n^3+2n^2+2n

est divisible par 6.

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LE ROUMAIN

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