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Date de la publication: : 01 Septembe, 2010

EXEMPLE 1

Support théorique:

Tronc de pyramide régulière, prisme triangulaire, volume d'un polièdre.

Enoncé:

Soit le tronc de pyramide régulière de base carré [ABCDA'B'C'D'], dont le coté de la

grande base c'est AB = L, le coté de la petite base c'est A'B' = l et la hauteur c'est h.

Trouver les volumes des polyèdres obtenus en sectionnant le tronc par le plan (A'B'CD).

Réponse:

${\mathcal{V}}_1={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)},\;{\mathcal{V}}_2={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.$ {\mathcal{V}}_1={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)},\;{\mathcal{V}}_2={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.

Résolution:

Le plan de la section sépare les polyèdres [ABCDA'B'] et [A'B'C'D'DC].

Le premier est formé d'un prisme triangulaire et 2 pyramides congruentes,

son volume étant:

$\mathcal{V}_1=\frac{Lhl}{2}+{2}\cdot{\frac{{Lh}\cdot{\frac{L-l}{2}}}{3}}=\cdots={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}.$ \mathcal{V}_1=\frac{Lhl}{2}+{2}\cdot{\frac{{Lh}\cdot{\frac{L-l}{2}}}{3}}=\cdots={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}.

Le volume du second est égal à la différence entre le volume du tronc de la pyramide

et le volume calculé ci-dessus:

$\mathcal{V}_2={\frac{h}{3}}\cdot{(L^2+l^2+Ll)}-{\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}=\cdots={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.$ \mathcal{V}_2={\frac{h}{3}}\cdot{(L^2+l^2+Ll)}-{\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}=\cdots={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.

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