Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML
Cette catégorie comprend des exercices et problèmes (9-ième
classe/Roumanie) accompagnés des résolutions dans lesquelles on a glissé
délibérémment de différentes erreurs de calcul, on a omis quelques conditions
d'existence, des étapes de raisonnement, ou quelques cas possibles.
En lisant attentivement "la résolution" proposée, trouvez les erreurs!
EPREUVE-6
Date de la publication: : 22.12.2009Support théorique:
Equation du second degré aux coefficients réels, les relations de Viète.
Enoncé:
Etudier les signes des racines réelles de l'équation:
({a^4}+1){x^2}+2{a^2}x+1=0,\;{a}\in{\mathbb{R}}^*.
Résolution erronée:
Utilisons les relations de Viète:
S={x_1}+{x_2}=-\frac{2a^2}{a^4+1}<0\;et
P={x_1}\cdot{x_2}=\frac{1}{a^4+1}>0.
Il en résulte que les racines sont négatives toutes les deux.
Mais, du calcul suivant on déduit que:
(x_1-x_2)^2=S^2-4P=...={-\frac{4}{(a^4+1)^2}}<0.
Contradiction!!!
Où est l'erreur?
EPREUVE-5
Date de la publication: : 21.11.2009Support théorique:
Inéquations, fractions algébriques, le signe de la fonction du second degré.
Enoncé:
Trouver le nombre réel x, tel que:
\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}<\frac{x+1}{x-1}.
Résolution erronnée:
{\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}.
\Leftrightarrow
{{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x+1)}}}<{\frac{x+1}{x-1}}
\Leftrightarrow
{\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}
\Leftrightarrow
\dots
\Leftrightarrow
{3x^2-x+2}>{0},\;vraie\;\forall{x}\in{\mathbb{R}},\;car\;{\Delta}<{0}.
Mais il est facile à constater que pour x=0 on obtient de l'inequation: 1<-1, faux!
Ou est-ce que s'est produit l'erreur?
EPREUVE-4
Date de la publication: : 11.09.2009Support théorique:
Inéquations irrationnelles, fonctions trigonométriques.
Enoncé:
Résoudre l'inéquation:
{\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx},\;x\in{[0,2\pi]}.
Résolution erronnée:
{\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx}.
\Leftrightarrow
{3+3{sinx}}\le{4{cos}^2{x}}
\Leftrightarrow
{{4{sin}^2}{x}+3sinx-1}\le{0}
\Leftrightarrow
{-1\le{sinx}}\le{\frac{1}{4}}
\Leftrightarrow
x\in{[0,{arcsin}{\frac{1}{4}}]\cup[\pi-{arcsin}{\frac{1}{4}},2\pi]}.
On constate, facilement, que pour x=\pi l'inéquation n'est pas verifiée!
(On obtient {\sqrt{3}}\le{-2}), ce qui est faux.)
Où est l'erreur?
EPREUVE-3
Date de la publication: : 22.11.2009Support théorique:
Arcs et cordes dans un cercle, lieu géométrique.
Enoncé:
Sur le cercle C(O,R) on choisit les points fixes A et B, tels que
{O}\notin{(AB)},\;AB=\ell\;et\;le\;point\;variable\;M.
Trouver le lieu géométrique du milieu L de la corde (MN), où N appartient au cercle C(O,R), tel que:
{\widehat{AMB}}\equiv{\widehat{MAN}}.
Résolution incomplète:
Le\;quadrilatere\;forme\;par\;les\;points\;A,B,M\;et\;N\;est\;un\;trapeze\;isocel
et\;il\;en\;resulte\;que\;(MN)\equiv(AB);\;on\;deduit\;que\;le\;point\;L\;c'est\;le\;milieu\;d'une\;corde
variable\;en\;tant\;que\;position,\;mais\;de\;longueur\;constante;\;par\;consequent,
le\;lieu\;geometrique\;decrit\;par\;le\;point\;L\;c'est\;le\;cercle\;\mathcal{C}(O,r),\;ou
r=\frac{\sqrt{4{R^2}-{\ell}^2}}{2}.
Mais\;on\;peut\;verifier,\;assez\;facilement,\;que\;le\;point\;du\;cercle\;\mathcal{C}(O,r),\;par\;lequel
passe\;la\;tangente\;issue\;du\;point\;A,\;n'a\;pas\;la\;propriete\;du\;lieu\;geometrique!
Ou\;est\;l'erreur?
EPREUVE-2
Date de la publication: : 22.08.2009Support théorique:
Inéquation irrationnelle.
Enoncé:
Résoudre dans l'ensemble des réels:
{\sqrt{1-x}}\leq{\sqrt{x-3}}.
Résolution erronée:
On élève au carré tous les deux membres de l'inéquation et l'on obtient finalement:
x\geq2,\;c'est-a-dire\;x\in{[2,-\infty)}.
Mais on constate, que pour x=3, par exemple, l'inéquation n'est pas verifiée.
Où c'est l'erreur?
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