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»NIVEAU I

Cette catégorie comprend des exercices et problèmes (9-ième

classe/Roumanie) accompagnés des résolutions dans lesquelles on a glissé

délibérémment de différentes erreurs de calcul, on a omis quelques conditions

d'existence, des étapes de raisonnement, ou quelques cas possibles.

En lisant attentivement "la résolution" proposée, trouvez les erreurs!

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EPREUVE-6

Date de la publication: : 22.12.2009

Support théorique:

Equation du second degré aux coefficients réels, les relations de Viète.

Enoncé:

Etudier les signes des racines réelles de l'équation:

$({a^4}+1){x^2}+2{a^2}x+1=0,\;{a}\in{\mathbb{R}}^*.$ ({a^4}+1){x^2}+2{a^2}x+1=0,\;{a}\in{\mathbb{R}}^*.

Résolution erronée:

Utilisons les relations de Viète:

$S={x_1}+{x_2}=-\frac{2a^2}{a^4+1}<0\;et$ S={x_1}+{x_2}=-\frac{2a^2}{a^4+1}<0\;et

$P={x_1}\cdot{x_2}=\frac{1}{a^4+1}>0.$ P={x_1}\cdot{x_2}=\frac{1}{a^4+1}>0.

Il en résulte que les racines sont négatives toutes les deux.

Mais, du calcul suivant on déduit que:

$(x_1-x_2)^2=S^2-4P=...={-\frac{4}{(a^4+1)^2}}<0.$ (x_1-x_2)^2=S^2-4P=...={-\frac{4}{(a^4+1)^2}}<0.

Contradiction!!!

Où est l'erreur?

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EPREUVE-5

Date de la publication: : 21.11.2009

Support théorique:

Inéquations, fractions algébriques, le signe de la fonction du second degré.

Enoncé:

Trouver le nombre réel x, tel que:

$\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}<\frac{x+1}{x-1}.$ \frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}<\frac{x+1}{x-1}.

Résolution erronnée:

${\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}.$ {\frac{x^3+1}{x^3+x^2+x+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}. $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x+1)}}}<{\frac{x+1}{x-1}}$ {{\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x+1)}}}<{\frac{x+1}{x-1}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}<{\frac{x+1}{x-1}}$ {\frac{x^2-x+1}{x^2+1}}<{\frac{x+1}{x-1}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${3x^2-x+2}>{0},\;vraie\;\forall{x}\in{\mathbb{R}},\;car\;{\Delta}<{0}.$ {3x^2-x+2}>{0},\;vraie\;\forall{x}\in{\mathbb{R}},\;car\;{\Delta}<{0}.

Mais il est facile à constater que pour x=0 on obtient de l'inequation: 1<-1, faux!

Ou est-ce que s'est produit l'erreur?

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EPREUVE-4

Date de la publication: : 11.09.2009

Support théorique:

Inéquations irrationnelles, fonctions trigonométriques.

Enoncé:

Résoudre l'inéquation:

${\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx},\;x\in{[0,2\pi]}.$ {\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx},\;x\in{[0,2\pi]}.

Résolution erronnée:

${\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx}.$ {\sqrt{3(1+sinx)}}\le{2cosx}. $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${3+3{sinx}}\le{4{cos}^2{x}}$ {3+3{sinx}}\le{4{cos}^2{x}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${{4{sin}^2}{x}+3sinx-1}\le{0}$ {{4{sin}^2}{x}+3sinx-1}\le{0} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${-1\le{sinx}}\le{\frac{1}{4}}$ {-1\le{sinx}}\le{\frac{1}{4}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $x\in{[0,{arcsin}{\frac{1}{4}}]\cup[\pi-{arcsin}{\frac{1}{4}},2\pi]}.$ x\in{[0,{arcsin}{\frac{1}{4}}]\cup[\pi-{arcsin}{\frac{1}{4}},2\pi]}.

On constate, facilement, que pour $x=\pi$ x=\pi l'inéquation n'est pas verifiée!

(On obtient ${\sqrt{3}}\le{-2}),$ {\sqrt{3}}\le{-2}), ce qui est faux.)

Où est l'erreur?

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EPREUVE-3

Date de la publication: : 22.11.2009

Support théorique:

Arcs et cordes dans un cercle, lieu géométrique.

Enoncé:

Sur le cercle C(O,R) on choisit les points fixes A et B, tels que

${O}\notin{(AB)},\;AB=\ell\;et\;le\;point\;variable\;M.$ {O}\notin{(AB)},\;AB=\ell\;et\;le\;point\;variable\;M.

Trouver le lieu géométrique du milieu L de la corde (MN), où N appartient au cercle C(O,R), tel que:

${\widehat{AMB}}\equiv{\widehat{MAN}}.$ {\widehat{AMB}}\equiv{\widehat{MAN}}.

Résolution incomplète:

$Le\;quadrilatere\;forme\;par\;les\;points\;A,B,M\;et\;N\;est\;un\;trapeze\;isocel$ Le\;quadrilatere\;forme\;par\;les\;points\;A,B,M\;et\;N\;est\;un\;trapeze\;isocel

$et\;il\;en\;resulte\;que\;(MN)\equiv(AB);\;on\;deduit\;que\;le\;point\;L\;c$ et\;il\;en\;resulte\;que\;(MN)\equiv(AB);\;on\;deduit\;que\;le\;point\;L\;c'est\;le\;milieu\;d'une\;corde

$variable\;en\;tant\;que\;position,\;mais\;de\;longueur\;constante;\;par\;consequent,$ variable\;en\;tant\;que\;position,\;mais\;de\;longueur\;constante;\;par\;consequent,

$le\;lieu\;geometrique\;decrit\;par\;le\;point\;L\;c$ le\;lieu\;geometrique\;decrit\;par\;le\;point\;L\;c'est\;le\;cercle\;\mathcal{C}(O,r),\;ou

$r=\frac{\sqrt{4{R^2}-{\ell}^2}}{2}.$ r=\frac{\sqrt{4{R^2}-{\ell}^2}}{2}.

$Mais\;on\;peut\;verifier,\;assez\;facilement,\;que\;le\;point\;du\;cercle\;\mathcal{C}(O,r),\;par\;lequel$ Mais\;on\;peut\;verifier,\;assez\;facilement,\;que\;le\;point\;du\;cercle\;\mathcal{C}(O,r),\;par\;lequel