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Si tu est là, cela signifie que tu t’intéresses aux mathématiques ! Félicitations !
Tu vas trouver ici un riche bréviaire téorique, ainsi que de nombreux exercices et problèmes originaux, munis des réponses et résolutions, plus ou moins détaillées (l’effort personnel est, lui aussi, nécessaire !), au niveau des programmes du lycée (Roumanie), mais aussi pour l’approfondissement des acquis des classes terminales du gymnase.
De même, il y a des problèmes représentatifs des manuels scolaires, ou proposés au Bac, accompagnés de résolutions qui m'appartiennent.
Si tu es un(e) étudiant(e) et les mathématiques t’accompagnent par la suite, tu peux retrouver ici les informations, oubliées éventuellement, mais nécessaires, pour mieux saisir quelque notions plus élaborées.
En fin, je désire te suggérer que je n’ai pas du tout l’intention de me substituer à ton professeur de l’école !
Je voudrais seulement promouvoir une collaboration, à ton profit, en te conseillant, simultanément, d’étudier, de désirer comprendre, de retenir ce que tu as compris et, puis, d’être capable à utiliser ce que tu as ainsi appris !

Prof. Emil Dumitrescu
Galaţi - ROMÂNIA

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Les dernieres informations, analyses et solutions aux divers problemes de mathematiques, ajoutes sur le site.

THEORIE, 05.02.2012

Posté en TRIGONOMETRIE-gymnase

Définitions.

Soit un triangle rectangle ABC où mes(A) = 90° et les notations usuelles:

AB = c, AC = b et BC = a, comme dans le dessein ci-dessous:

Les rapports trigonométriques des angles aigus B et C sont définits par les formules:

$sinB=\frac{cote\;oppose}{ipotenuse}=\frac{b}{a},$ sinB=\frac{cote\;oppose}{ipotenuse}=\frac{b}{a}, $sinC=\frac{cote\;oppose}{ipotenuse}=\frac{c}{a},$ sinC=\frac{cote\;oppose}{ipotenuse}=\frac{c}{a},

$cosB=\frac{cote\;adjacent}{ipotenuse}=\frac{c}{a},$ cosB=\frac{cote\;adjacent}{ipotenuse}=\frac{c}{a}, $cosC=\frac{cote\;adjacent}{ipotenuse}=\frac{b}{a},$ cosC=\frac{cote\;adjacent}{ipotenuse}=\frac{b}{a},

$tgB=\frac{cote\;oppose}{cote\;adjacent}=\frac{b}{c},$ tgB=\frac{cote\;oppose}{cote\;adjacent}=\frac{b}{c}, $tgC=\frac{cote\;oppose}{cote\;adjacent}=\frac{c}{b},$ tgC=\frac{cote\;oppose}{cote\;adjacent}=\frac{c}{b},

$ctgB=\frac{cote\;adjacent}{cote\;oppose}=\frac{c}{b},$ ctgB=\frac{cote\;adjacent}{cote\;oppose}=\frac{c}{b}, $ctgC=\frac{cote\;adjacent}{cote\;oppose}=\frac{b}{c}.$ ctgC=\frac{cote\;adjacent}{cote\;oppose}=\frac{b}{c}.

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THEORIE, 04.02.2012

Posté en SYSTEMES D'EQUATIONS-gymnase

Systèmes de 2 équations du premier degré, à 2 inconnues.

$\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases},$ \begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}, où a,b,c,d,e,f sont des réels.

En supposant que tous les coefficients des inconnues sont non nuls (au cas contraire

on obtient des systèmes particuliers, dont la résolution est plus simple) et que les

équations ne sont pas contradictoires et, en plus, l'une ne s'obtient pas de l'autre par

la suite d'une multiplication par un réel non nul, on a 2 méthodes de résolution:

1) Méthode de la réduction:

On multiplie les équations par des nombres convenablement choisis, tels que par la

suite de leur addition, membre à membre, l'une des inconnue disparaîsse; on obtient

ainsi une équation du premier degré à une inconnue, on trouve l'inconnue respective,

on la remplace dans une des équations initiales et l'on trouve l'autre inconnue.

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THEORIE, 04.02.2012

Posté en EQUATIONS-gymnase

Equation du premier degré.

L'équation ax + b = 0, où a et b sont des réels, a non nul, admet la solution unique:

x = (- b/a).

Exemple: - 3x + 7 = 0 < = > x = (- 7)/(-3) < = > x = 7/3.

Equation du second degré.

L'équation ax² + bx + c = 0, où a, b et c sont des réels, a non nul,

admet des solutions réelles si son discriminant est positif ou nul:

Δ = b² - 4ac € [0, +00).

Celles-ci sont:

$x_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{\Delta}}}{2a}.$ x_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{\Delta}}}{2a}.

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THEORIE, 03.02.2012

Posté en IDENTITES REMARQUABLES-gymnase

Identités algébriques remarquables:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;

2) (a - b)² = a² - 2ab + b²;

3) (a + b)·(a - b) = a² - b²;

4) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

5) (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³;

6) a³ + b³ = (a + b)·(a² - ab + b²);

7) a³ - b³ = (a - b)·(a² + ab + b²);

8) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca.

$9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};$ 9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};

(formule des radicaux composés; présente d'intérêt lorsque le nombre a² - b est un carré parfait)

10) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1)/2; n € N*;

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THEORIE, 03.02.2012

Posté en ENSEMBLES NUMERIQUES-gymnase

Opérations:

Réunion:

A U B = {x|x € A ou x € B}.

Généralisation:

M1 U M2 U M3 U ... U Mn = {x|x € M1 ou x € M2 ou x € M3 ou ... ou x € Mn }.

Intersection:

A Π B = {x|x € A et x € B}.

Généralisation:

M1 Π M2 Π M3 Π ... Π Mn = {x|x € M1 et x € M2 et x € M3 et ... et x € Mn }.

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METHODES, 02.02.2012

Posté en FACTORISATION-gymnase

Méthode du facteur commun.

Il faut identifier, le cas échéant, un facteur commun de tous les termes de l'expression

algébrique donnée (il vaut mieux qu'il soit même le p.g.d.c.).

Exemples:

1) 12x³ + 8x² + 24x = 4x(3x² + 2x + 6);

2) 15x³y² - 3x²y + 12xy = 3xy(5x²y - x + 4);

3) x²(x +2y)³ - 2xy(x + 2y)² + x(x + 2y) = x(x+2y)[x(x + 2y)² - 2y(x + 2y) + 1].

Μéthode qui utilise des identités remarquables.

Il faut voir, dans l'expression algébrique donnée, la possibilité de mettre en évidence

d'une ou plusieurs identités remarquables, par exemple:

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OPERATIONS SUR DES FRACTIONS ORDINAIRES, 01.02.2012

Posté en FRACTIONS ORDINAIRES-gymnase

Somme algébrique de 2 ou plusieurs fractions.

Exemple:

$\frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.$ \frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.

On a effectué les pas suivants:

On a calculé le dénominateur commun (p.p.m.c. des 3 dénominateurs);
On a rammené les fractions au même dénominateur (à savoir [6;9;10] = 90), en les amplifiant chacune par le quotient de la division de 90 par son dénominateur;
On a effectué la somme algébrique des numérateurs ainsi obtenus et l'on a gardé le dénominateur commun;
On a simplifié la fraction obtenue;
On a fait sortir l'entier de la fraction.

Produit de 2 ou plusieurs fractions.

${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.