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Date de la publication: : 23 Octobre, 2010

Support théorique:

Fonction bijective, fonction inversible, dérivée de la réciproque d'une fonction dérivable, équation algébrique de dégré supérieur.

Enoncé:

Soit f la fonction polynomiale, définie sur R et à valeurs dans R, donnée par la loi

$f(x)=x^7+x^5+x^3+x.$ f(x)=x^7+x^5+x^3+x.

a) Démontrer que f est inversible;

b) Calculer la dérivée de la réciproque de la fonction f en le point y = - 2.

Réponse:

$b)\;{(f^{-1})}^{$ b)\;{(f^{-1})}^{'}(-2)=\frac{1}{16}.

Résolution:

a) Puisque la fonction f est polynomiale de degré impair et sa dérivée du premier ordre

est, évidemment, positive sur R, on en déduit que f est strictement croissante sur son

domaine maximum de définition et f(R) = R, par conséquent elle est bijective, donc

inversible.

b) Conformément à la formule connue, à savoir

${(f^{-1})^{$ {(f^{-1})^{'}}{(b)}=\frac{1}{{f^{'}}{(a)}},

où f(a) = b, on en déduit que a c'est la solution (unique!) de l'équation f(a) = - 2, c'est-à-

dire a = -1.

Donc,

${(f^{-1})^{$ {(f^{-1})^{'}}{(-2)}=\frac{1}{{f^{'}}{(-1)}}=\cdots=\frac{1}{16}.

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