Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée.

Date de la publication: : 01 Septembe, 2010

EXEMPLE-1

Support théorique:

Equation de la droite dans l'espace, équation du plan, distance d'un point à une droite dans l'espace, distance entre deux points dans l'espace, normale au plan, équations paramètriques de la droite dans l'espace.

Enoncé:

Trouver la distance du point M(1, 0, 1) à la droite

$(\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.$ (\delta):\;\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}.

Réponse:

$d(M,\delta)=\frac{\sqrt{6}}{3}.$ d(M,\delta)=\frac{\sqrt{6}}{3}.

Résolution:

Soit N le point d'intersection du plan (p) passant par M, avec la droite donnée, qui est

perpendiculaire à celle-ci. Il faut calculer la longueur du segment MN.

Les paramètres directeurs de la droite étant 1, -1, 1 (les dénominateurs des fractions

dans l'équation), l'équation du plan (p) (perpendiculaire à celle-ci) c'est:

1x - 1y + 1z + D = 0; du fait que le plan doit passer par M(1, - 1, 1) il résulte:

1 + 1 + D = 0, donc D = - 2 et, par conséquent:

(p): x - y + z - 2 = 0. (1)

Les équations paramétriques de la droite sont:

$\begin{cases}x=t-1\\y=-t+1\\z=t\end{cases},\;unde\;t\in{\mathbb{R}}.\;(2)$ \begin{cases}x=t-1\\y=-t+1\\z=t\end{cases},\;unde\;t\in{\mathbb{R}}.\;(2)

On calcule les coordonnées du point N à l'aide des conclusions (1) et (2):

D'abord on déniche t, qui correspond à ce point, en mettant x, y et z de (2) dans (1):

(t - 1) - (- t + 1) + t - 2 = 0, donc t = 4/3. On revient à (2) et l'on trouve les

coordonnées du point: (1/3, - 1/3, 4/3).

Finalement, on calcule la distance éxigée:

$MN=\sqrt{(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2},\;etc.$ MN=\sqrt{(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2+(z_M-z_N)^2},\;etc.

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