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Date de la publication: : 01 Juillet, 2010

EXERCICE 2

Support théorique:

Classes résiduelles modulo 7, rang d'une matrice, bordage d'un mineur, calcul d'un déterminant, nombre premier, élément symétrisable par rapport à la multiplication.

Enoncé:

Calculer le rang de la matrice aux éléments dans l'ensemble des classes

résiduelles modulo 7:

$A=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}&\hat{\alpha}\end{pmatrix}.$ A=\begin{pmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}&\hat{\alpha}\end{pmatrix}.

Réponse:

$\alpha=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=2};\;\alpha\not=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=3}.$ \alpha=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=2};\;\alpha\not=\hat{3}\Rightarrow{rang(A)=3}.

Résolution:

$\begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}\\\hat{2}&\hat{4}\end{vmatrix}=\hat{4}-\hat{6}=\hat{4}+\hat{1}=\hat{5}\not={\hat{0}},$ \begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}\\\hat{2}&\hat{4}\end{vmatrix}=\hat{4}-\hat{6}=\hat{4}+\hat{1}=\hat{5}\not={\hat{0}},

donc le rang de la matrice A est égal à 2 ou plus.

On borde le mineur d'en haut en utilisant la ligne 3 et la colonne 3, après la ligne 3 et

la colonne 4:

$\begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}\end{vmatrix}=\hat{0}+\hat{4}+\hat{5}-\hat{6}-\hat{3}=\hat{0};$ \begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{5}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{6}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{0}\end{vmatrix}=\hat{0}+\hat{4}+\hat{5}-\hat{6}-\hat{3}=\hat{0};

$\begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{\alpha}\end{vmatrix}=\hat{4}{\alpha}+\hat{2}+\hat{4}-\hat{2}-\hat{5}-\hat{6}{\alpha}=\cdots=\hat{5}{\alpha}+\hat{6}.$ \begin{vmatrix}\hat{1}&\hat{3}&\hat{4}\\\hat{2}&\hat{4}&\hat{3}\\\hat{1}&\hat{4}&\hat{\alpha}\end{vmatrix}=\hat{4}{\alpha}+\hat{2}+\hat{4}-\hat{2}-\hat{5}-\hat{6}{\alpha}=\cdots=\hat{5}{\alpha}+\hat{6}.

Discussion:

$1)\;Si\;{\hat{5}{\alpha}+\hat{6}=\hat{0}}\;\Leftrightarrow\;{\cdots}\;{\Leftrightarrow}\;{\alpha=\hat{3}},\;alors\;rang(A)=2;$ 1)\;Si\;{\hat{5}{\alpha}+\hat{6}=\hat{0}}\;\Leftrightarrow\;{\cdots}\;{\Leftrightarrow}\;{\alpha=\hat{3}},\;alors\;rang(A)=2;