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Les opérations avec des logarithmes et leurs propriétés constituent une

source inépuisable pour concevoir des résolutions théoriques, mais aussi

pratiques, souvent d'une simplicité surprenante, pour pas mal d'exercices et

problèmes de toutes les disciplines mathématiques. Le logarithme naturel

c'est un vrai leitmotive dans l'analyse mathématique et pas seulement.

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THEORIE

Date de la publication: : 24.07.2010

Définition:

Le logarithme d'un nombre positif b à la base a (nombre positif et différent de 1) c'est

le réel c, tel que a à la puissance c est égal à b. Voici la formule:

$\log_{a}{b}={c}\Leftrightarrow{{b}={a}^{c}},\;{a>0},\;a\not={1},\;{b> 0}.$ \log_{a}{b}={c}\Leftrightarrow{{b}={a}^{c}},\;{a>0},\;a\not={1},\;{b> 0}.

Cas particuliers:

a = 10 : le logarithme est dit décimal et l'on note lg;
a = e = 2,71...: le logarithme est dit naturel ou népérien et l'on note ln.

Propriétés:

${a}^{\log_{b}{c}}={c}^{\log_{b}{a}},\;{a,b,c}\in{(0,\infty)},\;{b}\neq{1}.$ {a}^{\log_{b}{c}}={c}^{\log_{b}{a}},\;{a,b,c}\in{(0,\infty)},\;{b}\neq{1}.
$\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}},\;{a,c}\in{(0,\infty)}\setminus\{1\};$ \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}},\;{a,c}\in{(0,\infty)}\setminus\{1\};

(formule du changement de base).

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 16.08.2010

Support théorique:

Fonction logarithme, propriétés des logarithmes, valeur minimale d'une fonction.

Enoncé:

Déterminer le nombre positif x pour lequel la fonction f touche sa valeur minimale:

$f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)={{{log}_3}^4}x+{8{{{log_3}}^2}x}\cdot{{log}_3}9x.$ f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},\;f(x)={{{log}_3}^4}x+{8{{{log_3}}^2}x}\cdot{{log}_3}9x.

Réponse:

x = 1.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 17.09.2010

Support théorique:

Equations logarithmiques, radicaux, logarithmes naturels, fonction du premier et second degré, domaine de définition, conditions d'existence, système d'inéquations, ensemble vide.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation suivante:

$\sqrt{3-{ln}(2x+1)}+\sqrt[3]{3-{ln}(x^2-11x-12)}=1.$ \sqrt{3-{ln}(2x+1)}+\sqrt[3]{3-{ln}(x^2-11x-12)}=1.

Réponse:

S = Φ.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 02.10.2011

Support théorique:

Equations logarithmiques, conditions d'existence, propriétés des logarithmes.

Enoncé:

Résoudre dans l'ensemble des réels l'équation logarithmique:

$lg_{lgx}(lgx^8)=4.$ lg_{lgx}(lgx^8)=4.

Réponse:

x = 100.

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EXEMPLUL 4

Date de la publication: : 02.10.2011

Support théorique:

Inégalités, propriétés des logarithmes.

Enoncé:

Démontrer que:

${\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.$ {\mathcal{S}}_{n-1}=\sum_{k=1}^{k=n-1}{{log}_{k+1}{(n-k+1)}}\ge{n-1},\;\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;{n}\ge{2}.

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LE ROUMAIN

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