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»INTEGRALES DEFINIES

Définitions et théoremes, interprétations géométriques, propriétés et

applications pratiques (aires de surfaces planes et de révolution,

longueurs d'arcs de courbe, volumes et centres de gravité) sont présentés,

succinctement, dans ce chapitre.

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DEFINITIONS

Date de la publication: : 07.12.2008

Somme Riemann (ou la somme integrale), associée à la fonction f, à la division Δ

et au système des points intermédiaires xi, c'est le nombre réel:

${\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).$ {\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Définition:

La fonction f:[a,b] -> R s'appelle fonction integrable Riemann sur l'intervalle [a,b]

s'il existe un nombre réel I, tel que pour toute suite Δn de divisions de l'intervalle [a,b],

${{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;$ {{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),\;avec\;

$\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0$ \lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0

et pour toute suite de points intermediaires

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PROPRIETES

Date de la publication: : 12.06.2011

Formule Leibniz-Newton:

Soit f:[a,b] - > R une fonction integrable, qui admet des primitives sur [a,b].

Alors, pour toute primitive F de la fonction f, a lieu l'égalité:

$\int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).$ \int_{a}^{b}{f(x){dx}}=F(b)-F(a).

Théorème de Lebesgue (cas fini):

Soit f:[a,b] - > R une fonction bornée. Si f a un nombre fini de points de discontinuité,

alors la fonction est intégrable sur [a,b].

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METHODES DE CALCUL

Date de la publication: : 03.04.2011

Intégration par parties:

Soit les fonctions f,g : [a,b] - > R, dérivables, et leurs dérivées f' et g' continues.

Alors:

$\int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g$ \int_{a}^{b}{f(x)}\cdot{g'(x)}{dx}={f(x)}\cdot{g(x)}{|}_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)}\cdot{g(x)}{dx}.

Première méthode du changement de variable:

Soit l'intervalle J inclus dans R et les fonctions

u: [a,b] - > J et f: J - > R telles que:

a) u est une fonction dérivable, dont la dérivée est continue sur l'intervalle [a,b];

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 15.07.2010

Support théorique:

Intégrales définies, première méthode du changement de variable, méthode d'intégration par parties.

Enoncé:

Calculer l'intégrale définie:

$I=\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}}{{sin}(lnx)}{dx}.$ I=\int_1^{e^{\frac{\pi}{2}}}{{sin}(lnx)}{dx}.

Réponse:

$I=\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}+1}{2}.$ I=\frac{\sqrt{e^{\pi}+1}+1}{2}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 26.10.2010

Support théorique:

Intégrale définie, première méthode du changement de variable, formule Leibniz-Newton, formules de dérivation et d'antidérivation, propriétés des logaritmes.

Enoncé:

Calculer l'intégrale définie:

$I=\int_{1}^{2}{\frac{x\sqrt{ln(x^2+1)}}{x^2+1}}{dx}.$ I=\int_{1}^{2}{\frac{x\sqrt{ln(x^2+1)}}{x^2+1}}{dx}.