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»NOMBRES REELS

Date de la publication: : 21 Juillet, 2010

THEORIE

Partie entière d'un nombre réel:

Pour tout nombre réel a il existe un entier k, tel que a € [k,k + 1); ce nombre entier k,

noté [a], s'appelle la partie entière du nombre réel a.

Il en résulte:

${[a]}\leq{a}<{[a]}+1$ {[a]}\leq{a}<{[a]}+1

${a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ {a-1}<{[a]}\leq{a},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Partie décimale d'un nombre réel:

$\{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \{a\}={a-[a]}\Rightarrow{{0}\leq\{a\}<{1}},\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Puissances:

1) A l'exposant réel:

Soit a, b deux réels positifs et x, y deux réels quelconques; alors:

${a^x}\cdot{a^y}={a^{x+y}};$ {a^x}\cdot{a^y}={a^{x+y}};
$\frac{a^x}{a^y}={a^{x-y}};$ \frac{a^x}{a^y}={a^{x-y}};
${(\frac{a}{b})}^{x}=\frac{a^x}{b^x};$ {(\frac{a}{b})}^{x}=\frac{a^x}{b^x};
$({a}\cdot{b})^x={a^x}\cdot{b^x};$ ({a}\cdot{b})^x={a^x}\cdot{b^x};
${(a^x)}^{y}={a}^{xy}.$ {(a^x)}^{y}={a}^{xy}.

2) A l'exposant entier négatif:

Soit a un réel non-nul et n un nombre naturel non-nul; on appelle "la puissance (-n)-ième de a", notée ${a}^{-n},$ {a}^{-n}, le nombre réel defini par:

${a}^{-n}=\frac{1}{a^n}.$ {a}^{-n}=\frac{1}{a^n}.

Observation:

$Par\; definition,\;{a^{0}}=1,\forall{a\neq{0}}.$ Par\; definition,\;{a^{0}}=1,\forall{a\neq{0}}.

3) A l'exposant rationnel:

$Soit\;a>0\;et\;{r}=\frac{m}{n},{m}\in{\mathbb{Z}},n\in{{\mathbb{N}}^{*}},n\geq{2}.$ Soit\;a>0\;et\;{r}=\frac{m}{n},{m}\in{\mathbb{Z}},n\in{{\mathbb{N}}^{*}},n\geq{2}.

On appelle "a à la puissance r" le nombre réel noté:

$a^r={a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.$ a^r={a}^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.

Radicaux d'ordre n (n naturel plus grand ou égal à 2):

1) Si n est un nombre naturel pair, supérieur ou égal à 2 et a un réel plus grand que 0, on appelle racine n-ième de a (ou racine arithmétique n-ième de a), le nombre non-négatif (plus grand ou égal à zero), noté par

$\sqrt[n]{a},tel\; que:\;{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a.$ \sqrt[n]{a},tel\; que:\;{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a.

2) Si n est naturel impair, plus grand ou égal à 3 et a est un réel quelconque, on appelle racine n-ième de a (ou racine arithmétique n-ième de a) le nombre reel noté par

$\sqrt[n]{a},\;tel\;que:\;{(\sqrt[n]{a})}^{n}=a.$ \sqrt[n]{a},\;tel\;que:\;{(\sqrt[n]{a})}^{n}=a.

Propriétés des radicaux:

La racine d'un produit est égale au produit des racines:

$\sqrt[n]{{a}\cdot{b}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\geq{0}\\\sqrt[n]{|a|}\cdot\sqrt[n]{|b|},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0}\end{cases};$ \sqrt[n]{{a}\cdot{b}}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\geq{0}\\\sqrt[n]{|a|}\cdot\sqrt[n]{|b|},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0}\end{cases};

La racine d'un quotient est égale au quotient des racines:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\begin{cases}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\forall{a,b}\geq{0},{b}\neq{0}\\\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0},{b}\neq{0}\end{cases};$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\begin{cases}\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\forall{a,b}\geq{0},{b}\neq{0}\\\frac{\sqrt[n]{|a|}}{\sqrt[n]{|b|}},\forall{{a}\cdot{b}}\geq{0},{b}\neq{0}\end{cases};

La puissance d'une racine:

${(\sqrt[n]{a})}^{m}=\sqrt[n]{a^m},\forall{a}\ge{0},m\in{{\mathbb{N}}^*};$ {(\sqrt[n]{a})}^{m}=\sqrt[n]{a^m},\forall{a}\ge{0},m\in{{\mathbb{N}}^*};

La simplification d'une racine:

$\sqrt[mn]{a^m}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}, {a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{|a|}, {a}<{0}, {m}\; {pair}\end{cases};$ \sqrt[mn]{a^m}=\begin{cases}\sqrt[n]{a}, {a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{|a|}, {a}<{0}, {m}\; {pair}\end{cases};

La racine d'une racine:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\begin{cases}\sqrt[mn]{a},\forall{a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}\geq{2},{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[mn]{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}},{m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}={2k+1},{n}={2p+1},{k,p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};$ \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\begin{cases}\sqrt[mn]{a},\forall{a}\geq{0}, {m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}\geq{2},{n}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[mn]{a},\forall{a}\in{\mathbb{R}},{m}\in{{\mathbb{N}}^{*}},{m}={2k+1},{n}={2p+1},{k,p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};

L'introduction d'un facteur sous un radical:

${a}\sqrt[n]{b}=\begin{cases}\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a,b}\geq{0},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a<0},{b\geq{0}},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},\;{n}={2p+1},\;{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};$ {a}\sqrt[n]{b}=\begin{cases}\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a,b}\geq{0},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;{a<0},{b\geq{0}},\;{n}={2k},\;{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},\;{n}={2p+1},\;{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases};

La sortie d'un facteur d'en dessous d'un radical:

$\sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}}=\begin{cases}{a}\sqrt[n]{b},{a,b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-{a}\sqrt[n]{b},{a}<{0},{b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},{n}={2p+1},{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases}.$ \sqrt[n]{{a^n}\cdot{b}}=\begin{cases}{a}\sqrt[n]{b},{a,b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\-{a}\sqrt[n]{b},{a}<{0},{b}\geq{0},{n}={2k},{k}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\\{a}\cdot\sqrt[n]{b},\forall{a,b}\in{\mathbb{R}},{n}={2p+1},{p}\in{{\mathbb{N}}^{*}}\end{cases}.

Formule des radicaux composés:

$\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0}.$ \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0}.