Informations, définitions, théorèmes, formules, exercices et problèmes résolus sur les mathématiques du lycée. RSS/XML

»PRIMITIVES

Comme toutes les opérations inverses, l'opération de la recherche des

primitives, l'inverse de la dérivation, produit un certain malaise au moins dans

l'étape d'abord initial de celle-ci.

Il est nécéssaire (mais pas aussi suffisante!) la connaissance avec

exactitude des tous les aspects théoriques et des formules et techniques sur

le calcul des primitives des fonctions (lorsqu'elles existent!), présentés plus

bas:

THEORIE

Date de la publication: : 02.04.2011

Définition:

Une fonction f:I - > R,où I est un intervalle, est primitivable sur I, s'il existe une

fonction F:I - > R, dérivable sur I et F'(x) = f(x), pour tout x de I; la fonction F

s'appelle une primitive de la fonction f et, évidemment, dans ce cas-là, il existe une

infinité de primitives de la fonction f, qui se note $\int{f(x)dx},$ \int{f(x)dx},

ensemble qui s'appelle l'intégrale non-définie de la fonction f:

$\int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}$ \int{f(x)}{dx}=\{F|F:{I}\rightarrow{R}\}

où F est une primitive de la fonction f.

Si la fonction f:I - > R admet une primitive F, alors

$\int{f(x)dx}= F +\mathcal{C},$ \int{f(x)dx}= F +\mathcal{C},

où C = {f:I - > R|f constante}

c'est l'ensemble de toutes les fonctions constantes, définies sur I.

Primitives usuelles:

$\int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}}$ \int{x}^{n}{dx} =\frac{{x}^{n+1}}{n+1} +\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}},\forall{n}\in{\mathbb{N}} $\Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.$ \Rightarrow \int{1}\cdot{dx} = x +\mathcal{C}, {x}\in{\mathbb{R}}.
$\int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C}$ \int{x}^{\alpha}{dx} = \frac{{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1} +\mathcal{C} , ${x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.$ {x}\in{I\subset(o,\infty)},\forall{\alpha\in{\mathbb{R}}}\setminus{\begin{Bmatrix}-1\end{Bmatrix}}.
$\int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C}$ \int\frac{1}{x}{dx}=\ln{|x|}+\mathcal{C} , ${x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.$ {x}\in{I\subset(0,\infty)},{ou}\,{x}\in{I\subset(-\infty,0)}.
$\int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C},$ \int{a}^{x}{dx}=\frac{{a}^{x}}{\ln{a}}+\mathcal{C}, ${x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.$ {x}\in{\mathbb{R}},{a>0},a\neq{1}\Rightarrow \int{e}^{x}{dx}={e}^{x}+\mathcal{C},{x}\in{\mathbb{R}}.