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»PROPRIETES DES FONCTIONS DERIVABLES

Parmi les fonction continues, on remarque, par des propriétés spéciales,(très

utiles dans l'étude de la variation des fonctions) les fonctions dérivables sur

intervalles (dont la courbe représentative admet une tangente non-

parallèle à l'axe Oy en tout point de l'intervalle respectif).

Voilà quelles sont ces propriétés:

THEORIE

Date de la publication: : 08.11.2008

Théorème de Fermat:

Soit la fonction f:I - > R, dérivable sur l'intervalle I; si xo est un point d'extrémum de

la fonction f, intérieur de l' intervalle, alors: f'(xo) = 0.

Théorème de Rolle:

Soit la fonction f:I - > R et a, b deux réels de I, alors:

1) f est continue sur [a,b] et

2) f est derivable sur (a,b) et

3) f(a) = f(b), alors il existe c en (a,b), tel que f'(c) = 0.

Suite de Rolle:

Etant donnée une équation de la forme f(x) = 0, où f: I - > R est une fonction

dérivable sur l'intervalle I, on appelle la suite de Rolle associée à la fonction f, la suite

des signes des valeurs a, f(c1), f(c2), ... , f(cn), b, où a et b sont les limites ou les

valeurs de la fonction f aux extremites de l'intervalle I, tandis que c1, c2, ... , cn, sont

les racines réelles et distinctes de l'équation f'(x) = 0 (apellées les points critiques de

la fonction f) écrites suivant l'ordre croissant. On distingue les cas suivants:

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 28.08.2010

Support théorique:

Fonction multiforme, fonction dérivable, fonction continue, limites latérales, règle de l'Hospital, corolaire du théorème de Lagrange.

Enoncé:

Trouver les paramètres réels a et b, tels que la fonction suivante soit dérivable sur son

domaine de définition:

f:(0,+ 00) - > R,

$f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.

Réponse:

a = - 1/2, b = 3/2.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 25.10.2010

Support théorique:

Fonctions bijectives, fonctions inversibles, fonctions dérivables, dérivée de la réciproque.

Enoncé:

Soit la fonction f, définie sur R et à valeurs dans R, par la loi:

$f(x)=x^{2n+1}+x^{2n-1}+\cdots +x^3+x+1,$ f(x)=x^{2n+1}+x^{2n-1}+\cdots +x^3+x+1,

où n est un nombre naturel.

Démontrer que la fonction f est inversible et puis calculer la dérivée de sa réciproque en

le point y = n + 1.

Réponse:

${(f^{-1})}^{$ {(f^{-1})}^{'}(n+1)=\frac{1}{(n+1)^2}.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 13.07.2011

Support théorique:

Fonctions dérivables, règles de dérivation, points critiques d'une fonction, points d'extrémum et d'inflexion d'une fonction, équations logarithmiques.

Enoncé:

Déterminer les points critiques des fonctions f et f', où f:(0,+oo) - > R,

$f(x)=\frac{lnx+1}{\sqrt{x}}.$ f(x)=\frac{lnx+1}{\sqrt{x}}.

Réponse:

$x=e,\;pour\;f\;et\;x=e\sqrt[3]{e^2}\;pour\;f^{$ x=e,\;pour\;f\;et\;x=e\sqrt[3]{e^2}\;pour\;f^{'}.

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LE ROUMAIN

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