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»FONCTIONS CONTINUES

Une classe très importante de fonctions rencontrées dans l'analyse

mathématique, munies des propriétés spéciales

(et qui produisent les moins difficultés aux élèves),

est formée des fonctions qui "ne sautent pas" de valeurs, à savoir les

fonctions continues.

Voilà lesquels sont les aspects théoriques essentiels à propos de ce type de

fonctions:

THEORIE

Date de la publication: : 09.11.2008

Définitions:

Soit f:D - > R une fonction réelle d'argument réel et a dans D.

La fonction f est dite continue en le point a de D,

si pour toute suite (xn), xn dans D, convergente à a, la suite (f(xn)) est

convergente à f(a).

Le point a de D est appelé point de continuité de la fonction f, si la fonction est

continue en a.

Si la fonction f:D - > R n'est pas continue en le point x = a de D, alors elle est dite

discontinue en le point a, tandis que le point a s'appelle point de discontinuité de la

fonction f.

Si le point a de D est un point de discontinuité de la fonction f et f(a - 0) et f(a + 0)

(c'est-à-dire les limites à gauche et à droite en a) existent et sont finies, a s'appelle

point de discontinuité de première espèce de la fonction f; on appelle points de

discontinuité de seconde espèce tous les autres points de discontinuités.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 26.08.2010

Support théorique:

Fonction continue, fonction multiforme, limites latérales, opération exceptée, règle de L'Hospital.

Enoncé:

Démontrer que la fonction suivante est continue sur son domaine de définition:

$f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},$ f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}}, $f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 30.12.2010

Support théorique:

Discontinuité de première espèce, fonction multiforme, opérations exceptées, nombre e, règle de L'Hospital.

Enoncé:

Montrer que x = π/2 est un point de discontinuité de première expèce pour la fonction

à l'accolade ci-dessous:

${f:(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})}\rightarrow{\mathbb{R}},$ {f:(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})}\rightarrow{\mathbb{R}}, $f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt[3]{cos(x+\frac{\pi}{2})}+1}{tg2x},\;{x}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\\0,\;x=\frac{\pi}{2}\\{(1+tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}},\;{x}\in{(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt[3]{cos(x+\frac{\pi}{2})}+1}{tg2x},\;{x}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\\0,\;x=\frac{\pi}{2}\\{(1+tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}},\;{x}\in{(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})}\end{cases}.