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»FONCTIONS DERIVABLES

Définitions et, surtout, toutes les formules et les règles de dérivation des

fonctions élémentaires étudiées, sans lesquelles on peut pas s'imaginer la

résolution de pas mal de problèmes de monotonie, de limitation, d'extrémum,

de limite, d'application en géométrie (la pente d'une tangente à une courbe),

physique (vitesse, accélération, intensité du courent électrique etc) etc.

THEORIE

Date de la publication: : 06.11.2008

Définition:

On dit que la fonction f:I -> R, est dérivable en x = a de l'intervalle I, si

$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

existe et est finie; si la limite n'existe pas, ou elle est infinie, la fonction n'est pas

dérivable en x = a; la limite, lorsqu'elle existe, est notée par f'(a).

Interprétation géométrique de la dérivée finie d'une fonction en un point:

La dérivée finie d'une fonction f:I - > R en un point x = a de l'intervallle I

(c'est-à-dire f'(a)) représente la pente (le coefficient directeur) de la tangente à la

représentation géométrique de cette fonction, qui passe par le point T(a,f(a));

l'équation de la tangente c'est: y - f(a) = f'(a)(x - a).

Théorème:

Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.

Dérivée d'une fonction composée:

Si les fonctions u:D - > E et f:E - > R, où D et E sont des intervalles de R, sont

dérivables, alors la fonction h = fou: D - > R, dite leur composée, définie par la

loi h(x) = f(u(x)), pour tout x de D, est dérivable et h'(x) = f'(u(x)) · u'(x), ou, plus

simplement, (f(u))' = f' · u'.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 29.08.2010

Support théorique:

Fonction arcsinus, fonctions dérivables, dérivée première, dérivée seconde, domaine maximum de définition, domaine de dérivabilité, inéquation du second degré, intersection de deux intervalles.

Enoncé:

Résoudre l'inéquation f'(x) + f"(x) > 0, sur le domaine maximum de définition de la

fonction donnée par la loi f(x) = arcsinx.

Réponse:

$x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)}.$ x\in{(\frac{1-\sqrt{5}}{2},1)}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 23.10.2010

Support théorique:

Fonction bijective, fonction inversible, dérivée de la réciproque d'une fonction dérivable, équation algébrique de dégré supérieur.

Enoncé:

Soit f la fonction polynomiale, définie sur R et à valeurs dans R, donnée par la loi

$f(x)=x^7+x^5+x^3+x.$ f(x)=x^7+x^5+x^3+x.

a) Démontrer que f est inversible;

b) Calculer la dérivée de la réciproque de la fonction f en le point y = - 2.

Réponse:

$b)\;{(f^{-1})}^{$ b)\;{(f^{-1})}^{'}(-2)=\frac{1}{16}.

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EXEMPLE 3

Date de la publication: : 26.03.2011

Support théorique:

Fonctions polynômiales, points d'extrêmum, deuxième bissectrice, représentation graphique du graphe d'une fonction.

Enonce:

Trouver les paramètres réels a et b, tels que le graphique de la fonction définie par

f: R -> R, f(x) = 2x³ - 9ax² + 12a²x + 6b,

admette 2 points d'extrêmums, situés dans le premier et quatrième quadrant et la

droite déterminée par ceux-ci soit parallèle à la deuxième bissectrice.

Réponse:

a = 1, - 5/6 < b < - 2/3.

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LE ROUMAIN

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