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»LIMITES DE FONCTIONS

Date de la publication: : 26 Octobre, 2008

THEORIE

Définition de la limite d'une fonction en un point:

Soit a un point d'accumulation (fini ou infini) d'un ensemble E inclus dans R;

on dit que L de R U {- 00, +00} c'est la limite de la fonction f:E - > R en le point a si

pour tout xn non-nul de E et différent de a, où n est naturel, xn - > a, la suite

( f(xn) ), des valeurs de la fonction f, tend vers L.

Théorème des deux gendarmes:

Soit 3 fonctions f,g,h:E - > R, a un point d'accumulation pour E et V un

voisinage de a. Si:

$a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et$ a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et

$b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:$ b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:

${\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.$ {\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.

Limites remarquables:

$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.

$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{tgx}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{tgx}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{tg}{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{tg}{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\arcsin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\arcsin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{arctgx}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{arctgx}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\arcsin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\arcsin{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{arctg}{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{arctg}{u(x)}}{u(x)} =1\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{\pm\infty}}{(1+\frac{1}{x})}^{x}=e.$ \lim_{{x}\rightarrow{\pm\infty}}{(1+\frac{1}{x})}^{x}=e.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}={e}.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}={e}.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}{(1+\frac{1}{u(x)})}^{u(x)}={e}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}={\pm\infty}.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}{(1+\frac{1}{u(x)})}^{u(x)}={e}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}={\pm\infty}.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}{(1+u(x))}^{\frac{1}{u(x)}}={e},\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}{(1+u(x))}^{\frac{1}{u(x)}}={e},\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\ln{(1+x)}}{x}={1}.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\ln{(1+x)}}{x}={1}.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\ln{(1+u(x))}}{u(x)}={1}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\ln{(1+u(x))}}{u(x)}={1}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a},a>0.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{a^x-1}{x}=\ln{a},a>0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{e^x-1}{x}={1}.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{e^x-1}{x}={1}.
$\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}\frac{a^{u(x)}-1}{u(x)}=\ln{a},a>0\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}\frac{a^{u(x)}-1}{u(x)}=\ln{a},a>0\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{{(1+x)}^{r}-1}{x}={r},\;ou\;r\in{\mathbb{R}}.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{{(1+x)}^{r}-1}{x}={r},\;ou\;r\in{\mathbb{R}}.
$\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}\frac{e^{u(x)}-1}{u(x)}={1}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}\frac{e^{u(x)}-1}{u(x)}={1}\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{\alpha}}{u(x)}=0.

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Réponses et commentaires:

Ricky

HMlpMoOm, 24.06.2011 16:03

And I tohguht I was the sensible one. Thanks for setting me straight.

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