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Dans la suite on va trouver la présentation de quelques fonctions

particulières, utilises dans les mathématiques du lycée, accompagnées de

leurs définitions et propriétes essentielles.

THEORIE

Date de la publication: : 13.03.2009

Fonction valeur absolue:

est définie par f:R - > [0,+oo),

$f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases},$ f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\x,x\in{[0,+\infty)}\end{cases},

$ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases},$ ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0]}\\x,x\in{(0,+\infty)}\end{cases},

$ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.$ ou\;f(x)=|x|=\begin{cases}-x,x\in{(-\infty,0)}\\{0},{x=0}\\{x},{x}\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Propriétés:

|x| > 0 ou |x| = 0, pour tout x réel;
|x| = 0 <=> x = 0;
|x|² = 0, pour tout x réel;
|x·y| = |x|·|y|, quelques soient x et y réels => |- x| = |x|, pour tout x réel;
|x/y| = |x|/|y|, quelques soient x et y réels, y non-nul;
${|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};$ {|x|-|y|}\le{|{x}\pm{y}|}\le{|x|+|y|},\;\forall{x,y}\in{\mathbb{R}};
|x| = a <=> x = a ou x = - a, où a > 0;
|x| = |y| <=> x = y ou x = - y;
${{|x|}\le{c}}$ {{|x|}\le{c}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $x\in{[-c,c]},\;\forall{a}>{0};$ x\in{[-c,c]},\;\forall{a}>{0};
${|x|}>{c}$ {|x|}>{c} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${x}\in{{(-\infty,-c)}\cup{(c,+\infty)}},\;\forall{c}>{0}.$ {x}\in{{(-\infty,-c)}\cup{(c,+\infty)}},\;\forall{c}>{0}.

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EXEMPLE 1

Date de la publication: : 24.08.2010

Support théorique:

Fonction partie entière, graphe d'une fonction, intersection de deux ensembles, système d'inéquations du premier degré.

Enoncé:

Trouver l'intersection des graphes des fonctions suivantes:

f,g:R - > R,

$f(x)=[\frac{2-x}{4}],\;g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.$ f(x)=[\frac{2-x}{4}],\;g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}.

Réponse:

${G_f}\cap{G_g}=\{(1;0)\}.$ {G_f}\cap{G_g}=\{(1;0)\}.

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EXEMPLE 2

Date de la publication: : 08.11.2010

Support théorique:

Fonctions sgn (signe, signum,), min et max, signe des fonctions sinus, cosinus et tangente, domaine de définition, image d'un ensemble par une fonction.

Enoncé:

Soit la fonction réelle f, de variable réelle, donnée par la loi

f(x) = a·sgn(sinx) + b·sgn(cosx) + c·sgn(tgx).

a) Trouver le domaine maximum de définition de la fonction f, noté par D;

b) Déterminer l'ensemble f(M) (l'image de l'ensemble M par la fonction f), où

M = DΠ[0,2π]ΠN;

c) Calculer $\sum_{k=0}^{k=6}{f(k)};$ \sum_{k=0}^{k=6}{f(k)};