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Les nombreux similitudes entre les propriétés des opérations sur les

nombres complexes, vecteurs, matrices, polynomes etc ont constitué le point

de départ pour la construction d'une théorie unitaire, de niveau supérieur,

qui s'attaque aux ensembles des objets mathématiques , munis des

propriétés communes, par rapport aux opérations présentées de manière

abstraite.

C'est ainsi que la théorie des structures algébriques est née et celle-ci, en

partant de la notion de loi de composition (opération algébrique),

systématise et symplifie énormément l'étude de beaucoup d'ensembles

d'objets mathématiques, comme les nombres complexes (naturels, entiers,

rationnels, réels, complexes non-réels), vecteurs, transformations

géométriques (symétries, rotations etc), permutations, matrices, polynomes,

fonctions continues etc.

Dans la suite sont présentées des connaissances essentielles sur la notion de
groupe, à l'aide de laquelle on définit les autres structures algébriques.

3) APPLICATION-2

Date de la publication: : 20.06.2010

GROUPE DE KLEIN:

C'est un groupe fini remarquable, d'ordre 4, dont les éléments sont des

transformations géométriques du plan $\mathcal{P}$ \mathcal{P} muni d'un repère

orthogonal xOy (symétries par rapport aux axes et l'origine du repère) et la loi de

composition c'est leur composée.

Soit, donc, l'ensemble

$\mathcal{K}=\{i,s_x,s_y,s_o\}\;et\;\circ\;le\;symbole\;de\;la\;composee,$ \mathcal{K}=\{i,s_x,s_y,s_o\}\;et\;\circ\;le\;symbole\;de\;la\;composee,

où:

$i:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;i(M(x,y))=M(x,y),\;(application\;identique\;du\;plan,$ i:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;i(M(x,y))=M(x,y),\;(application\;identique\;du\;plan,
$s_x:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_x(M(x,y))=M^{$ s_x:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_x(M(x,y))=M^{'}(x,-y),\;(symetrie\;par\;rapport\;a\;l'axe\;Ox),
$s_y:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_y(M(x,y))=M^{$ s_y:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_y(M(x,y))=M^{''}(-x,y),\;(symetrie\;par\;rapport\;a\;l'axe\;Oy),
$s_o:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_o(M(x,y))=M{$ s_o:\mathcal{P}\rightarrow\mathcal{P},\;s_o(M(x,y))=M{'''}(-x,-y),\;(symetrie\;par\;rapport\;a\;l'origine\;O).

Montrons, en utilisant la table de Caylay, que le couple

$(\mathcal{K},\circ)$ (\mathcal{K},\circ)

est un groupe abélien (nommé le groupe de Klein).

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2) APPLICATION-1

Date de la publication: : 20.06.2010

CLASSES RESIDUELLES modulo n:

Dans l'ensemble des classes résiduelles modulo n on définit les opérations suivantes:

1) Addition:

$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}$ \hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}

2) Multiplication:

${\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.$ {\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.

Recherchons, à l'aide des tables de ces lois (appelées aussi les tables de Caylay), si

les couples suivants forment des groupes:

$(\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).$ (\mathbb{Z}_5,+),\;et\;(\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;et\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).

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1) THEORIE

Date de la publication: : 12.01.2009

Définition:

Le couple (M,*), où M est un ensemble non-vide, sur lequel on a défini une loi de

composition notée *, associative et qui est muni d'un élément neutre, s'appelle

monoide.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le monoide s'appelle commutatif ou abélien.

Exemple: l'ensemble des matrices carées, muni de la multiplication usuelle, est un

monoide non-commutatif.

Définition:

Soit un ensemble non-vide G, muni d'une loi de composition interne, notée $\circ.$ \circ.

Si:

a) La loi $\circ$ \circ est associative:

$({x}\circ{y})\circ{z}={x}\circ({y}\circ{z}),\;\forall{x,y,z}\in{G};$ ({x}\circ{y})\circ{z}={x}\circ({y}\circ{z}),\;\forall{x,y,z}\in{G};

b) Il existe un élément neutre:

$\exists{e}\in{G},\;tel\; que\;{x}\circ{e}={e}\circ{x}=x, \forall{x}\in{G};$ \exists{e}\in{G},\;tel\; que\;{x}\circ{e}={e}\circ{x}=x, \forall{x}\in{G};

c) Tous les éléments de G sont symétrisables:

$\forall{x}\in{G},\exists{x$ \forall{x}\in{G},\exists{x'}\in{G},\;tel\; que\;{x}\circ{x'}={x'}\circ{x}={e},alors:

on dit que le couple ${(G,\circ)}$ {(G,\circ)} forme une structure de groupe.

Si, de plus, la loi est commutative, alors le couple $(G,\circ)$ (G,\circ) est dit

groupe commutatif ou abélien.

Définition:

$Soit\;(G,\circ)\;un\; groupe\; et\;H\;un\; sous-ensemble\;non-vide\; de\; l$ Soit\;(G,\circ)\;un\; groupe\; et\;H\;un\; sous-ensemble\;non-vide\; de\; l'ensemble\;G;

$le\; couple\;{(H,\circ)}\;s$ le\; couple\;{(H,\circ)}\;s'appelle\;sous-groupe\; du\; groupe\;{(G,\circ)}

$si\;le\;couple\;{(H,\circ)}\;est\; un\;groupe.\;Notation:\;{H}\leq{G}.$ si\;le\;couple\;{(H,\circ)}\;est\; un\;groupe.\;Notation:\;{H}\leq{G}.

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LE ROUMAIN

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3) APPLICATION-2

2) APPLICATION-1

1) THEORIE

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