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»15) LIMITES DE FONCTIONS

Les limites de suites constituent le point de départ pour les limites de fonctions (en définitive, les suites sont des fonctions particulières) et, pour cela, dans le chapitre ci-dessous on va retrouver quelques formules qui se ressemblent à celles concernant les suites; de plus, à l'aide des techniques liées aux limites de fonctions, on pourra calculer plus rapidement des limites pour certaines suites.

THEORIE

Date de la publication: : 26.10.2008

Définition de la limite d'une fonction en un point:

Soit a un point d'accumulation (fini ou infini) d'un ensemble $E\subset{\mathbb{R}};$ E\subset{\mathbb{R}};

on dit que $\mathit{l}\in{\bar{\mathbb{R}}}$ \mathit{l}\in{\bar{\mathbb{R}}} c'est la limite de la fonction

${f}:E\rightarrow{\mathbb{R}}\;en\;le\;point\;a,\;si\;\forall{x}_{n}\in{E},$ {f}:E\rightarrow{\mathbb{R}}\;en\;le\;point\;a,\;si\;\forall{x}_{n}\in{E},

${x_n}\not=a,\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;la\;suite$ {x_n}\not=a,\forall{n}\in{\mathbb{N}},\;la\;suite ${(f(x_n))},$ {(f(x_n))},

$des\;valeurs\;de\;la\;fonction,\;tend\;vers\;\mathit{l},\;ou$ des\;valeurs\;de\;la\;fonction,\;tend\;vers\;\mathit{l},\;ou

$\bar{\mathbb{R}}={\mathbb{R}}\cup{\begin{Bmatrix}{-\infty},{+\infty}\end{Bmatrix}}.$ \bar{\mathbb{R}}={\mathbb{R}}\cup{\begin{Bmatrix}{-\infty},{+\infty}\end{Bmatrix}}.

Le théorème des deux gendarmes:

$Soit\;3\;fonctions\;f,\;g\;et\;h:E\rightarrow{\mathbb{R}},$ Soit\;3\;fonctions\;f,\;g\;et\;h:E\rightarrow{\mathbb{R}},

$a\;un\;point\;d$ a\;un\;point\;d'accumulation\;pour\;E\;et\;\mathcal{V}\;un\;voisinage\;de\;a.\;Si:

$a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et$ a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;et

$b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:$ b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=\mathit{l},\;alors:

${\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.$ {\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =\mathit{l}.

Limites remarquables:

$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1,\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1,\;si\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.

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