Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»FORMA TRIGONOMETRICA A UNUI NUMAR COMPLEX NEREAL

Calculele cu numere complexe, scrise sub forma trigonometrică, prezintă

numeroase avantaje faţă de cele cu numere complexe sub formă algebrică.

Aceste calcule beneficiază de formule simple, uşor de reţinut, pentru

inmulţire, împărţire, ridicare la putere şi extragere de rădăcină de ordin n,

permit rezolvări spectaculoase de ecuaţii binome, trinome, oferă posibilităţi

ingenioase de calcul pentru unele sume trigonometrice şi nu numai.

Iată de ce este de mare interes cunoaşterea algoritmului care vizează

conversia unui număr complex de la forma algebrică la forma sa

trigonometrică.

TEORIE

Data publicarii: 10.06.2010

Fie numarul complex z = a + bi, unde a (partea reala) si b (coeficientul

partii imaginare) sunt numere reale, b nenul, scris sub forma algebrica.

Pentru a-l converti in forma trigonometrica, trebuie parcursi urmatorii pasi:

1) Se calculeaza modulul sau cu formula:

$r=\sqrt{a^2+b^2};$ r=\sqrt{a^2+b^2};

2) Se calculeaza argumentul sau redus cu formula:

$I)\;Daca\;a\not={0},\;atunci:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.$ I)\;Daca\;a\not={0},\;atunci:\;t={arctg}{\frac{b}{a}}+{k\pi},\;k\in{\mathbb{Z}}.

Distingem cazurile:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în FORMA TRIGONOMETRICA A UNUI NUMAR COMPLEX NEREAL|Vezi comentarii (4)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 11.06.2010

Suport teoretic:

Ecuatie binoma, numere complexe sub forma algebrica, numere complexe sub forma trigonometrica, modulul unui numar complex, argumentul redus al unui numar complex, radacinile de ordinul n ale unui numar complex.

Enunt:

Sa se rezolve ecuatia binoma:

$(1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.$ (1-3i)\cdot{z}^{2010}=1+i.

Raspuns:

$z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}}$ z_k={\sqrt[2010]{\frac{\sqrt{5}}{5}}} $\cdot$ \cdot $[{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}$ [{cos}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}} $+{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}],$ +{i}\cdot{{sin}{\frac{(2k+1){\pi}-{arctg}{2}}{2010}}}], $k=\overline{0,2009}.$ k=\overline{0,2009}.