Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»REZOLVARI ELEMENTARE SI NEELEMENTARE-LICEU

Data publicarii: 22 Ianuarie, 2012

EXERCITIUL 6

Suport teoretic:

Functii rationale, ecuatii reciproce, functia de gradul al doilea, extremele unei functii, inegalitati remarcabile, rolul derivatei intai in studiul functiilor derivabile, ecuatii cu parametru.

Enunt:

Fie functia rationala f:D - > R, definita prin legea

$f(x)=\frac{x^2}{x^4+3x^3+5x^2+3x+1},$ f(x)=\frac{x^2}{x^4+3x^3+5x^2+3x+1},

unde D este domeniul maxim de definitie, inclus in multimea numerelor reale.

Sa se determine numarul n = Card{x€R|f(x) = m€R}.

Raspuns:

m < 0 = > n = 0; m = 0 = > n = 1; 0 < m < 1/13 = > n = 4; m = 1/13 = > n = 3;

1/13 < m < 1 = > n = 2; m = 1 = > n = 1; m > 1 = > n = 0.

REZOLVARE ELEMENTARA:

Se gaseste usor ca legea functiei poate fi scrisa sub forma:

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{(x^2+\frac{1}{x^2})+{3}\cdot{(x+\frac{1}{x})}+5},\;x\not=0,\\0,\;x=0\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{(x^2+\frac{1}{x^2})+{3}\cdot{(x+\frac{1}{x})}+5},\;x\not=0,\\0,\;x=0\end{cases}.

Sa analizam ecuatia

$(x^2+\frac{1}{x^2})+{3}\cdot{(x+\frac{1}{x})}+5=0,\;x\not=0,$ (x^2+\frac{1}{x^2})+{3}\cdot{(x+\frac{1}{x})}+5=0,\;x\not=0,

obtinuta prin tehnica utilizata la rezolvarea unei ecuatii reciproce de grad par:

Notand x + 1/x = t, unde t € (-00, 2] U [2, + 00), pentru x real si nenul, obtinem

transformata t² + 3t + 3 = 0, care nu are, evident, radacini reale, prin urmare functia f

este bine definita pe R.

Analizand monotonia si extremele functiei

g:(-00, 2] U [2, + 00) - > R, g(t) = t² + 3t + 3,

(restrictie a unei functii de gradul al doilea!), obtinem

g(t) € [1, 00), pentru t €(- 00, -2]

si

g(t) €[13, +00), pentru t € [2, +00).

Deducem ca:

1) raportul 1/g(t) creste de la 0 pana la 1 si scade apoi spre 0,

cand t creste de la - 00 spre -2;

2) raportul 1/g(t) creste de la 0 pana la 1/13 si scade apoi spre 0,

cand t creste de la 2 spre + 00 .

Se intuieste imediat urmatoarea reprezentare grafica si, de aici, raspunsul.

Observatie:

Numarul n = Card{x€R|f(x) = m€R} reprezinta cardinalul multimii punctelor de

intersectie ale graficului functiei f cu graficul functiei constante φ:R - > R, φ(x) = m,

unde m este numar real arbitrar.

REZOLVARE NEELEMENTARA:

Derivand functia f, se obtine

$f^{$ f^{'}(x)=\frac{x(1-x^2)(2x^2+3x+2)}{{(x^4+3x^3+5x^2+3x+1)}^2}.

si urmatorul tabel de variatie al functiei f:

x

-00

-1

0

1

+00

f'(x)

+++++++

0

------------

0

+++++++

0

-----------

f(x)

0

$\nearrow$ \nearrow

1

(max)

$\searrow$ \searrow

0

(min)

$\nearrow$ \nearrow

1/13

(max)

$\searrow$ \searrow

0

S-a obtinut aceeasi interpretare cu cea de la metoda elementara, dar mai repede, din

cauza "instrumentelor" folosite!

Postat în REZOLVARI ELEMENTARE SI NEELEMENTARE-LICEU

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

inductia matematica

alexandra, 31.01.2012 09:18

foarte frumos cu aceasta pagina.......FELICITARI

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului

Developed by Hagau Ioan