Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 08 Ianuarie, 2012

EXERCITIUL 4

Suport teoretic:

Sisteme de ecuatii liniare cu parametru, rangul unei matrice, minor principal, minor caracteristic, sisteme incompatibile.

Enunt:

Sa se rezolve in R³ sistemul de ecuatii liniare

$\begin{cases}x-y+az=1\\x+y-az=1\\ax+y-z=-1\\x+y+z=0\end{cases},$ \begin{cases}x-y+az=1\\x+y-az=1\\ax+y-z=-1\\x+y+z=0\end{cases},

unde parametrul a este real.

Raspuns:

Sistem incompatibil, oricare ar fi a real.

Rezolvare:

Intrucat minorul

$d_1=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\not=0,$ d_1=\begin{vmatrix}1&-1\\1&1\end{vmatrix}=2\not=0,

rezulta ca rangul matricei sistemului este mai mare sau egal cu 2. Prin bordarea

acestui minor obtinem:

$d_1=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\a&1&-1\end{vmatrix}=\cdots=2(a-1)$ d_1=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\a&1&-1\end{vmatrix}=\cdots=2(a-1)

$d_2=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\1&1&1\end{vmatrix}=\cdots=2(a+1).$ d_2=\begin{vmatrix}1&-1&a\\1&1&-a\\1&1&1\end{vmatrix}=\cdots=2(a+1).

Cum acesti minori (caracteristici) nu pot fi simultan nuli, rezulta ca rangul matricei

sistemului este 3, pentru orice alegere a parametrului real a. Distingem cazurile:

1) a € R \ {1} = > d1 este minor principal; bordandu-l corespunzator, obtinem minorul

caracteristic

$\Delta_{car4}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\a&1&-1&-1\\1&1&1&0\end{vmatrix}=\cdots=2(a^2+a+2)\not=0,\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.$ \Delta_{car4}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\a&1&-1&-1\\1&1&1&0\end{vmatrix}=\cdots=2(a^2+a+2)\not=0,\;\forall{a}\in{\mathbb{R}}.

Rezulta, in baza teoremei lui Rouché, ca sistemul este incompatibil.

2) a = 1 = > d2 = 4 este minor principal, iar minorul caracteristic

$\Delta_{car3}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\1&1&1&0\\a&1&-1&-1\end{vmatrix}=\cdots=-8,\;pentru\;a=1.$ \Delta_{car3}=\begin{vmatrix}1&-1&a&1\\1&1&-a&1\\1&1&1&0\\a&1&-1&-1\end{vmatrix}=\cdots=-8,\;pentru\;a=1.