Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 16 Ianuarie, 2012

Suport teoretic:

Metoda inductiei matematice (metoda inductiei complete), divizibilitatea in multimea numerelor naturale.

Enunt:

Sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n, are loc relatia:

3|(n³ + 11·n).

Demonstratie:

1) Etapa verificarii:

P(0): 3|(0³ + 11·0) < = > 3|0 adevarat.

2) Etapa demonstratiei implicatiei:

P(n) = > P(n + 1), oricare ar fi n € N.

Evident: P(n + 1 ): 3|((n + 1)³ + 11·(n + 1)).

Sa aratam, deci, ca pentru orice n natural, expresia

E(n) = (n + 1)³ + 11·(n + 1)

este divizibila cu 3.

Dupa cateva calcule simple, obtinem

E(n) = (n³ + 11·n) + 3·(n² + n + 4).

Conform ipotezei, avem 3|(n³ + 11·n), deci e clar ca 3|E(n), adica

P(n) implica P(n + 1), oricare ar fi n natural, q.e.d.

Din 1) si 2) rezulta ca P(n) este propozitie adevarata, pentru orice n natural,

conform principiului inductiei matematice.

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.