Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Data publicarii: 24 Iulie, 2010

ELIPSA

Definitie:

Locul geometric al punctelor M din plan, având suma distanţelor la două puncte fixe, F

şi F', numite focare, constantă şi mai mare decât distanţa dintre focare.

1) Ecuatia canonica a elipsei:

(raportata la sistemul de coordonate construit pe axele ei de simetrie):

Daca se aleg focarele F(c; 0) si F'(- c; 0), c > 0 si MF + MF' = 2a, a > c

si se noteaza a² - c² = b², atunci punctul M(x;y) descrie elipsa de ecuatie:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1=0.

2) Ecuatiile parametrice ale elipsei:

$\begin{cases}{x} = {a}\cdot\cos{t}\\{y} = {b}\cdot\sin{t}\end{cases},$ \begin{cases}{x} = {a}\cdot\cos{t}\\{y} = {b}\cdot\sin{t}\end{cases}, ${t}\in[0;2{\pi}].$ {t}\in[0;2{\pi}].

Observatii:

a) Punctele A(a;0), A'(-a;0), B(0;b) si B'(0;-b) se numesc varfurile elipsei;

b) Raportul (pozitiv si subunitar) ε = c/a se numeste excentricitatea elipsei; se

demonstreaza ca raportul dintre distantele unui punct oarecare M de pe elipsa la focar

si la o dreapta fixa, numita directoare, este constant si egal cu excentricitatea:

MF / MD = MF' / MD' = ε,

unde D si D' sunt proiectiile punctului M pe directoarele corespunzatoare celor doua

focare, de ecuatii

x = a²/c (pentru F) si x = - (a²/c) (pentru F');

c) Daca a = b = R, elipsa devine cercul de ecuatie

x² + y² - R² = 0 si cum, in acest caz, c = 0, deducem ca la cerc excentricitatea ε = 0.

3) Ecuatiile tangentelor la elipsa:

a) Intr-un punct al elipsei, anume T(xo,yo):

$\frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} +\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 = 0$ \frac{x\cdot{x}_{\circ}}{a^2} +\frac{y\cdot{y}_{\circ}}{b^2} -1 = 0

(ecuatia obtinuta prin "dedublare").

b) De directie data:

${y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}+b^2}}},$ {y=mx\pm{\sqrt{{a^2}{m^2}+b^2}}},

unde m reprezinta panta directiei date.

Postat în GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Candie

rCSnpTFptjpKgHaSgkr, 06.12.2011 02:32

Brilliance for free; your parents must be a sweetheart and a ceritfeid genius.

Topher

NiryQOGDkPHoBs, 03.08.2011 20:02

Thanky Thanky for all this good inforatmion!

Util

rcml, 24.05.2011 14:42

Foarte bun,ca si celelalte cursuri!

Multumesc

rcml, 24.05.2011 14:41

Foarte bun cursul,la fel ca celelalte;)

LE FRANCAIS