Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 19 Decembrie, 2008

DEFINITII, GENERALITATI

Definitie:

Numim ecuatie algebrica de gradul n orice ecuatie de forma

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde ak in C, pentru orice k natural, iar an diferit de 0.

Teorema Abel-Ruffini:

O ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 5 nu poate fi rezolvata prin radicali

(adica nu exista formule cu radicali, care sa permita aflarea radacinilor).

Teorema fundamentala a algebrei (D'Alembert-Gauss):

Orice ecuatie algebrica

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde ak in C, pentru orice k natural,

de grad n > 1, are cel putin o radacina complexa.

Radacini multiple:

Definitie:

Fie polinomul f in C[X] (cu coeficienti complecsi in nedeterminata X), asociat ecuatiei

algebrice

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},

unde

${a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}\;si\;\alpha\in{\mathbb{C}}$ {a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0}\;si\;\alpha\in{\mathbb{C}}

o radacina a acestuia, deci si a ecuatiei respective.

Numarul natural nenul m, cu proprietatile

${{(X-\alpha)}^{m}}|f\;si$ {{(X-\alpha)}^{m}}|f\;si ${(X-\alpha)}^{m+1}\not|f,$ {(X-\alpha)}^{m+1}\not|f,

se numeste ordinul de multiplicitate al radacinii α (pentru m = 1 radacina

este numita simpla, pentru m = 2 radacina este numita dubla etc).

Consecinte:

Daca radacinile αk, k € {1,2,...,r}, au ordinele de multiplicitate ik, respectiv, atunci polinomul

${(X-{\alpha}_1)}^{i_1}{(X-{\alpha}_2)}^{i_2}\cdots{(X-{\alpha}_r)}^{i_r}$ {(X-{\alpha}_1)}^{i_1}{(X-{\alpha}_2)}^{i_2}\cdots{(X-{\alpha}_r)}^{i_r}

divide pe f.

Orice polinom de grad n mai mare sau egal cu 1 are exact n radacini, nu neaparat

distincte; o radacina se repeta de un numar de ori egal cu ordinul sau de

multiplicitate. Fie polinomul

$f={a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}},$ f={a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}},

unde

${a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0};$ {a_k}\in{\mathbb{C}},\forall{k}\in{\mathbb{N}},{a_n}\neq{0};

daca

${x_1},{x_2},\cdots,{x_n}$ {x_1},{x_2},\cdots,{x_n}

sunt cele n radacini nu neaparat distincte), atunci:

f = an(X - x1)(X - x2)(X - xn).

In plus, aceasta descompunere in factori este unica.

Relatiile lui Viète:

Fie f de gradul n in C[X] (polinom, cu coeficienti complecsi si nedeterminata X), de

forma

$f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0}, {{a_n}}\neq{0}$ f={a_n}{X^n}+{{a}_{n-1}}{{X}^{n-1}}+...+{{a}_{k}}{{X}^{k}}+{{a}_{1}}{X}+{a_0}, {{a_n}}\neq{0}

${x}_{k},{1}\leq{k}\leq{n},$ {x}_{k},{1}\leq{k}\leq{n},

cele n radacini ale sale; atunci:

$\begin{cases}\sum{x_1}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},$ \begin{cases}\sum{x_1}=-\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\sum{x_1}{x_2}=\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_{k}}={(-1)}^{k}}\cdot\frac{a_k}{a_n}\\\cdots\\\sum{{x_1}{x_2}\cdots{x_n}}={{(-1)}^{n}}\cdot\frac{a_0}{a_n}\end{cases},

unde prin

$\sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}$ \sum{x_1}{x_2}\cdots{x_i}

intelegem suma tuturor produselor de cate i radacini ale polinomului f

(i = 1, 2, 3,..., k, ... , n).

Observatie:

Daca se noteaza cu S1 , S2 , S3 ,..., Sn sumele din relatiile lui Viète, atunci ecuatia

algebrica, ale carei radacini sunt x1 , x2 , x3 ,..., xn, are urmatorul aspect:

$x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.$ x^n-S_1x^{n-1}+S_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^kS_kx^{n-k}+\cdots+(-1)^{n-1}S_{n-1}x+(-1)^nS_n=0.

Cazuri particulare:

Ecuatia de gradul al doilea: x² - S·x + P = 0.
Ecuatia de gradul al treilea: x³ - S1·x² + S2·x - S3 = 0.

Postat în ECUATII ALGEBRICE

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

tematici matematice

Bucur Petre, 27.11.2011 19:44

Va salut, Temele abordate de Dv.stra sunt de nivel ridicat si, pe intelesul elevilor de liceu. Este o initiativa laudabila, care cred ca forurile Dv.stra nu o iau in seama! Este bine ce faceti pentru cititori! PS Un prof. mai in varsta

Răspuns: Multumesc mult, Domnule Profesor, pentru aprecierile Dv.!

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

DEFINITII, GENERALITATI

Răspunsuri şi comentarii

tematici matematice

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului