Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Data publicarii: 23 Noiembrie, 2008

DREAPTA

1) Diferite forme ale ecuatiei dreptei:

y = mx + n (ecuatia explicita a dreptei);

m reprezinta panta sau coeficientul unghiular al dreptei (tangenta unghiului

α € [0; π/2)U(π/2; π), format de sensul pozitiv al axei Ox cu dreapta respectiva,

masurat in sens trigonometric, diferit de un unghi drept), iar n reprezinta ordonata la

origine (ordonata punctului de intersectie al dreptei cu axa Oy).

$\frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$ \frac{x-{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}} = \frac{y-{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}}$ {y-{{y}_{1}}}={\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}} $\cdot(x-{{x}_{1}})$ \cdot(x-{{x}_{1}}) $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0$ \left|\begin{array}{rcl}x&y&1\\{{x}_{1}}&{{y}_{1}}&1\\{{x}_{2}}&{{y}_{2}}&1\end{array}\right| = 0

(ecuatia dreptei cand se cunosc doua puncte ale ei).

y - yo = m·(x - xo)

(ecuatia dreptei cand se cunosc un punct si panta).

$\begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}$ \begin{cases}x ={x}_{\circ}+t\cdot{{d}_{1}}\\y ={y}_{\circ}+t\cdot{{d}_{2}}\end{cases},t\in{\mathbb{R}}

(ecuatiile parametrice ale dreptei, cand se cunosc un punct si un vector director)

$\vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})}$ \vec{d} = {({d}_{1};{d}_{2})} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}).$ \vec{d}={{d}_{1}\vec{i}} + {{d}_{2}\vec{j}}).

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0

(ecuatia dreptei prin taieturi),

unde a si b reprezinta abscisa punctului de intersectie cu axa Ox, respectiv ordonata

punctului de intersectie cu axa Oy, in cazul unei drepte care nu contine originea axelor.

ax + by + c = 0, unde a, b, c € R, suma a² + b² nenula;

(ecuaţia generală a dreptei, sau ecuaţia implicită a dreptei).

Fascicul de drepte concurente: ax + by + c + k·(a'x + b'y + c') = 0,

unde k este parametru real si (d): ax + by+ c = 0 si (d'): a'x + b'y + c = 0 sunt

dreptele de baza ale fasciculului (concurente).

Observatie:

Intersectia dreptelor (d) si (d') se numeste varful facsciculului.

Fascicul de drepte paralele: ax + by + k = 0, unde a, b sunt numere reale fixate,

cu conditia a² + b² diferit de 0 si k parametru real.

2) Poziţiile relative a două drepte:

a) date prin ecuaţiile lor explicite: y = mx + n si y = m'x + n';

b) date prin ecuaţiile generale: ax + by + c = 0 si a'x + b'y + c' = 0, b si b' nenuli,

Pantele lor sunt:

$m=-{\frac{a}{b}},\;m^{$ m=-{\frac{a}{b}},\;m^{'}=-{\frac{a'}{b'}},

iar ordonatele la origine:

$n=-{\frac{c}{b}},\;n^{$ n=-{\frac{c}{b}},\;n^{'}=-{\frac{c'}{b'}}:

Paralele: m = m' si n diferit de n';

Confundate: m = m' si n = n';

Concurente: m diferit de m'.

3) Unghiul a două drepte :

${tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,$ {tg}{\varphi}= |\frac{{{m}_{1}}-{{m}_{2}}}{1 + {{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}}}|\Rightarrow{{d}_{1}}\bot{{d}_{2}}\Leftrightarrow{{m}_{1}}\cdot{{m}_{2}} = -1,

unde m1 si m2 sunt pantele dreptelor d1 si d2.

4) Distanta de la un punct la o dreapta:

$d(M,d)=\frac{|ax_{\circ}+bx_{\circ}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},$ d(M,d)=\frac{|ax_{\circ}+bx_{\circ}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}},

unde (d): ax + by + c = 0 si M(x0,y0).

5) Aria suprafetei triunghiulare [ABC], unde A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3):

$Aria[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.$ Aria[ABC]={\frac{1}{2}}\cdot{|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|}.

6) Conditia de coliniaritate a 3 puncte distincte A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3):

$|\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|=0.$ |\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}|=0.

Postat în GEOMETRIE ANALITICA IN PLAN

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Geometrie

navigatorul, 04.09.2009 16:12

referatul e foarte concis.Scurt si la obiect. Mi-a folosit.Va sugerez sa-l extindeti si geometria in spatiu:sfera, elipsoid etc. in eventualitatea ca as avea nrvoie de ceva din geometria lui Lobavevski(axiome, teoremele de baza) pot sa apelez la dv ?

Răspuns: Multumesc mult pentru aprecieri si ma bucur ca am fost util. Imi pare rau, proiectul meu vizeaza doar matematica din liceu (vezi titlul site-ului!).

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

DREAPTA

Răspunsuri şi comentarii

Geometrie

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului