Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 08 Ianuarie, 2009

TEORIE

Definitia determinantului (de ordinul n):

Fiind dată o matrice de ordinul n, de forma A = (aij) unde i, j apartin multimii

{1, 2, ... ,n} adica

$A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),$ A =\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{array}\right),

numim determinantul asociat matricei A numărul notat:

${det(A)} = \sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.$ {det(A)} = \sum_{\sigma\in{S_n}}{{\epsilon{(\sigma)}}\cdot{a_{1\sigma(1)}}\cdot{a_{2\sigma(2)}}\cdots{a_{n\sigma(n)}}}.

Cazuri particulare:

$n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};$ n=2\Rightarrow\left|\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21};

$n=3\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|=$ n=3\Rightarrow\left|\begin{array}{rcl}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|= $a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},$ a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{31}a_{12}a_{23}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{21}a_{12}a_{33},

rezultat obtinut prin regula lui Sarrus sau prin metoda triunghiurilor.

Observatie:

Definitia determinantului de ordinul n arata ca suma, care reprezinta valoarea

acestuia, contine n! termeni; acestia sunt produse de cate n factori distincti, cate unul

de pe fiecare linie si de pe fiecare coloana a matricei respective: produsele precedate

de semnul + corespund permutarilor pare σ din Sn, iar celelalte,

precedate de semnul - , corespund permutarilor impare. De pilda, permutarii

$\sigma=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\{\sigma}(1)&{\sigma}(2)&{\sigma}(3)\end{array}\right)=$ \sigma=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\{\sigma}(1)&{\sigma}(2)&{\sigma}(3)\end{array}\right)= $\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}}$ \left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}\right)\in{S_{3}}

ii corespunde termenul - a12 a21 a33, intrucat permutarea σ este impara

(are o singura inversiune) si, deci: ε(σ) = - 1.

Proprietatile determinantilor:

Determinantul unei matrice patratice este egal cu determinantul matricei transpuse;
Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul este nul;
Daca inmultim toate elementele unei linii (coloane) cu un numar, atunci valoarea determinantului se inmulteste cu acel numar;
Daca doua linii (coloane) sunt proportionale, atunci determinantul este nul;
Daca schimbam intre ele doua linii (coloane), atunci valoarea determinatului isi schimba semnul;
Daca adunam toate elementele unei linii (coloane), inmultite cu un numar, la elementele corespunzatoare ale altei linii (coloane), atunci valoarea determinantului nu se schimba;
Daca o linie (coloana) este combinatie liniara a celorlalte linii (coloane), atunci determinantul este nul;
Determinantul produsului a doua matrice patratice, de acelasi ordin, este egal cu produsul determinantilor celor doua matrice;
Un determinant de ordinul n > 1 este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii (coloane) si complementii lor algebrici (dezvoltarea unui determinant dupa o linie / coloana, (sau regula minorilor); cu ajutorul acestei proprietati, calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calculul unor determinanti de ordinul n - 1.

Determinantul Vandermonde:

${V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).$ {V_n}=\left|\begin{array}{ccccc}1&1&1&\cdots&1\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&\cdots&{x_n}\\{{x_1}^2}&{{x_2}^2}&{{x_3}^2}&\cdots&{{x_n}^2}\\\cdots\\{{x_1}^{n-1}}&{{x_2}^{n-1}}&{{x_3}^{n-1}}&\cdots&{{x_n}^{n-1}}\end{array}\right|=\prod_{1\leq{i}<{j}\leq{n}}({x_j}-{x_i}).

Caz particular:

${V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b).$ {V_3}=\left|\begin{array}{rcl}1&1&1\\a&b&c\\{a^2}&{b^2}&{c^2}\end{array}\right|=(b-a)(c-a)(c-b).

Postat în DETERMINANTI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Hallie

LiOAqRXmiy, 23.10.2011 19:02

It's really great that pelope are sharing this information.

elev

Mitrut, 23.01.2011 19:17

Chiar im ieste de ajutor..multumesc mult

Răspuns: Cu multă plăcere!

elev

nila maria, 29.11.2010 11:49

foarte bun cursul

Răspuns: Sunt bucuros să aflu că munca mea nu-i zadarnică ! Mulţumesc pentru atenţia acordată !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

Răspunsuri şi comentarii

Hallie

elev

elev

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului