Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 07 Decembrie, 2008

DEFINITII

Suma Riemann (sau suma integrala) asociata functiei f, diviziunii Δ şi sistemului de

puncte intermediare xi , este numărul real:

${\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).$ {\sigma}_{\Delta}{(f,\xi)}=\sum_{i=1}^{i=n}{f{({\xi}_i)}}\cdot{({{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}}).

Definitie:

Functia f, definita pe intervalul [a,b] si cu valori in R, se numeste functie integrabila

Riemann pe intervalul [a,b], daca exista un numar real I, astfel incat pentru orice sir

(Δn) de diviziuni a intervalului [a,b],

${{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),$ {{\Delta}_{n}} =({x_0}^{(n)},{x_1}^{(n)},{x_2}^{(n)},...,{x_{{k_n}-1}}^{(n)},{x_{{k_n}}}^{(n)}),

$\lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0$ \lim_{n\rightarrow{\infty}}{||{\Delta}_{n}}||=0

si orice sir de puncte intermediare

${\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),$ {\xi}^{(n)}=({{\xi}_{1}}^{(n)},{{\xi}_{2}}^{(n)},...,{{\xi}_{{k_n}-{1}}}^{(n)},{{\xi}_{k_n}}^{(n)}),

unde

${x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},$ {x_{i-1}}^{(n)}\leq{\xi_i}^{(n)}\leq{x_i}^{(n)},{1}\leq{i}\leq{k_n},{n}\in{\mathbb{N}},

sirul de sume integrale corespunzator este convergent la I.

Numarul I se numeste integrala definita, sau integrala functiei f pe intervalul [a, b] si

se noteaza

$\int_{a}^{b}{f(x){dx}}$ \int_{a}^{b}{f(x){dx}}

(se citeste: "integrala de la a la b din f(x) dx"). Deci:

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.$ \lim_{n\rightarrow\infty}{\sigma_{\Delta_n}}{(f,\xi_i)}=\int_{a}^{b}{f(x)}{dx}.

Observatii:

Orice functie integrabila pe intervalul [a, b] este marginita: exista, deci, numerele

reale m, M, astfel incat:

${m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.$ {m}\leq{f(x)}\leq{M},\forall{x}\in{\mathbb{R}}.

Consecinta importanta:

Daca functia f, definita pe [a, b] si cu valori in R, nu este marginita, atunci f nu este

integrabila pe [a, b].

Atentie !

Integrala definita a unei functii integrabile pe un interval [a, b] este un numar real, iar

integrala nedefinita a functiei f pe intervalul [a, b] este o multime de functii (multimea

primitivelor functiei f pe intervalul [a, b]).

Postat în INTEGRALE DEFINITE

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

DEFINITII

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului