Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»ECUATII ALGEBRICE

Data publicarii: 06 Aprilie, 2011

CLASIFICARE DUPA COEFICIENTI

Ecuatii algebrice cu coeficienti reali:

Daca o ecuatie algebrica, avand coeficienti reali, admite radacina complexa nereala

a + bi, atunci admite si radacina a - bi, ambele cu acelasi ordin de multiplicitate.

Consecinte:

1) Orice ecuatie algebrica, avand coeficienti reali, admite un numar par de radacini

complexe nereale;

2) Orice ecuatie algebrica, avand coeficienti reali, de grad impar, admite cel putin o

radacina reala.

3) Orice polinom cu coeficienti reali, de grad mai mare sau egal cu 1, se poate

exprima sub forma unui produs de polinoame de gradul I sau II, cu coeficienti reali.

Ecuatii algebrice cu coeficienti rationali:

Daca o ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 2, avand coeficienti rationali,

admite radacina

${a+\sqrt{b}},{a,b}\in{\mathbb{Q}},b>0,\sqrt{b}\notin{\mathbb{Q}},$ {a+\sqrt{b}},{a,b}\in{\mathbb{Q}},b>0,\sqrt{b}\notin{\mathbb{Q}},

atunci admite si radacina

${a-\sqrt{b}},$ {a-\sqrt{b}},

ambele cu acelasi ordin de multiplicitate.

Ecuatii algebrice cu coeficienti intregi:

Fie ecuatia algebrica, avand coeficienti intregi:

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0}, n\geq{1};$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0}, n\geq{1};

daca numarul rational p/q, (p,q) = 1, este radacina, atunci: p|ao iar q|an .

Consecinta:

Daca ecuatia algebrica, avand coeficienti intregi,

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0}, n\geq{1},$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0}, n\geq{1},