Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»ECUATII ALGEBRICE

Data publicarii: 06 Aprilie, 2011

CLASIFICARE DUPA ASPECT

Ecuatii binome:

${x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};$ {x^n}-a=0,a\in{\mathbb{C}},n\in{{\mathbb{N}}^*};

cele n radacini sunt date de formula:

${x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})},$ {x_k}=\sqrt[n]{r}\cdot{(\cos{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}}+{i}\sin{\frac{{\varphi}+{2k}{\pi}}{n}})}, ${0}\leq{k}\leq{n-1},$ {0}\leq{k}\leq{n-1},

unde r reprezinta modulul numarului complex, iar φ este argumentul redus al acestuia:

a = r(cosφ + isinφ).

Ecuatii trinome:

${ax^{2n}+bx^n+c=0},n\in{\mathbb{N}},n\geq{2};$ {ax^{2n}+bx^n+c=0},n\in{\mathbb{N}},n\geq{2};

rezolvarea se bazeaza pe substitutia ${x^n}=z,$ {x^n}=z,

rezolventa az² + bz + c = 0,

astfel obtinuta, fiind o ecuatie de gradul al 2-lea, ale carei solutii conduc la

ecuatii binome.

Caz particular:

${ax^4+bx^2+c=0};$ {ax^4+bx^2+c=0};

(ecuatie bipatrata).

Ecuatii reciproce:

Ecuatia algebrica

${a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0},n\geq{3}$ {a_n}{x^n}+{a_{n-1}}{x^{n-1}}+\cdots+{a_k}{x^k}+\cdots+{a_1}{x}+{a_{\circ}}={0},a_n\neq{0},n\geq{3}

se numeste ecuatie reciproca de gradul n daca

${a_{n-i}}={a_i},\forall{i},0\leq{i}\leq{n}$ {a_{n-i}}={a_i},\forall{i},0\leq{i}\leq{n}

(coeficientii termenilor egal departati de extremi sunt egali).

Observatii:

1) Daca ecuatia reciproca admite radacina a, atunci ea admite si radacina 1/a;

2) Orice ecuatie reciproca de ordin impar admite radacina x = - 1;

3) Orice ecuatie reciproca de ordin impar se reduce la rezolvarea ecuatiei

x + 1 = 0 si a unei ecuatii reciproce de ordin par;

4) Ecuatia reciproca de gradul al III - lea,

ax³ + bx² + bx + a = 0, a non-nul,

in urma unei evidente descompuneri in factori, devine:

(x + 1)[ax² + (b - a)x + a] = 0;

5) Ecuatia reciproca de ordinul al IV - lea,

${ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0},a\neq{0},$ {ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0},a\neq{0},

se rezolva impartind, mai intai, prin x² (evident x² este nenul, caci x = 0 nu este

radacina), dupa care, printr-o grupare convenabila de termeni, se obtine:

${a({x^2}+\frac{1}{x^2})+b{(x+\frac{1}{x})}+c}=0.$ {a({x^2}+\frac{1}{x^2})+b{(x+\frac{1}{x})}+c}=0.

In final, cu substitutia

y = x + 1/x, de unde deducem x² + 1/x² = y² - 2, obtinem rezolventa

ay² + by + c - 2a = 0 etc.

6) Ecuatia reciproca de ordinul al V - lea:

${ax^5+bx^4+cx3+cx^2+bx+a=0},a\neq{0},$ {ax^5+bx^4+cx3+cx^2+bx+a=0},a\neq{0},

conform observatiei 2), conduce la rezolvarea ecuatiei x + 1= 0 si a unei ecuatii

reciproce de gradul al IV - lea etc.

Postat în ECUATII ALGEBRICE

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Karess

lijghppIayGGTzV, 26.10.2011 02:44

Ppl like you get all the binras. I just get to say thanks for he answer.

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului

Developed by Hagau Ioan