Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE

Rezolvarea unui triunghi oarecare (aflarea tuturor elementelor sale, când se

cunosc trei dintre ele, printre care cel puţin o latură) este o problemă

fundamentală a geometriei plane, iar trigonometria constituie un instrument

de lucru decisiv în realizarea acestui obiectiv.

TEORIE

Data publicarii: 13.11.2010

Nota:

In cele de mai jos, notatiile folosite in triunghi sunt cele uzuale:

a, b, c: lungimile laturilor;
A, B, C: masurile unghiurilor;
R: raza cercului circumscris;
r: raza cercului inscris;
p: semiperimetrul (p = (a+b+c)/2);
$l_a$ l_a bisectoarea interioara a unghiului A;
S: aria triunghiului.

Teorema proiectiilor:

a = bcosC + ccosB

si analoagele, obtinute prin permutari circulare.

Lungimea unei coarde:

Intr-un cerc de raza R, lungimea unei coarde MN, care subintinde un arc de cerc avand

masura x, este data de formula:

MN = 2Rsin(x/2).

Teorema cosinusului (teorema lui Pitagora generalizata):

a² = b² + c² - 2bccosA.

si analoagele, obtinute prin permutari circulare.

Teorema sinusurilor:

$\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R.$ \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 1

Data publicarii: 16.11.2010

Suport teoretic:

Cercurile inscris si circumscris unui triunghi, rapoartele trigonometrice in triunghiul dreptunghic, identitati trigonometrice.

Enunt:

Se da un triunghi dreptunghic ABC, in care:

${AB}\perp{AC},\;BC=a,\;m(\widehat{ABC})=\alpha,\;{\alpha}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\;si\;pr_{BC}{A}=\{D\}.$ {AB}\perp{AC},\;BC=a,\;m(\widehat{ABC})=\alpha,\;{\alpha}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\;si\;pr_{BC}{A}=\{D\}.

Sa se afle lungimea L a tangentei dusa din centrul cercului circumscris triunghiului ADC

la cercul inscris in acelasi triunghi.

Raspuns:

L = [a(sinα)·(sinα - cosα)] / 2.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 1

Postat în APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 2

Data publicarii: 13.01.2011

Suport teoretic:

Paralelogramul, bisectoarea unui unghi, perimetrul unui triunghi, teorema bisectoarei, teorema cosinusului.

Enunt:

Fie paralelogramul ABCD, in care AB = 3m, AD = m, I apartine diagonalei (BD), astfel

incat AI este bisectoarea unghiului BAD. Stiind ca $AI=\frac{3m\sqrt{3}}{4},$ AI=\frac{3m\sqrt{3}}{4},

sa se afle perimetrul triunghiului ACJ, unde J este intersectia bisectoarei AI cu latura CD.

Raspuns:

$\mathcal{P}=m(2+\sqrt{3}+\sqrt{13}).$ \mathcal{P}=m(2+\sqrt{3}+\sqrt{13}).

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 2

Postat în APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE|Vezi comentarii (0)

EXERCITIUL 3

Data publicarii: 19.05.2011

Suport teoretic:

Aria unui triunghi, teorema cosinusului, razele cercurilor inscris si circumscris unui triunghi.

Enunt:

In triunghiul ABC se dau: AB = 2a, AC = 3a, a >0 si mas(A) = 60°.

1) Sa se rezolve triunghiul ABC.

2) Sa se afle lungimile razelor cercurilor inscris si circumscris triunghiului.

Raspuns:

$1)BC=a\sqrt{7},\;{mas}(B)={arccos}{\frac{\sqrt{7}}{14}},\;{mas}(C)={arccos}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}.$ 1)BC=a\sqrt{7},\;{mas}(B)={arccos}{\frac{\sqrt{7}}{14}},\;{mas}(C)={arccos}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}.

$2)r=\frac{3a\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}},\;R=\frac{a\sqrt{21}}{3}.$ 2)r=\frac{3a\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}},\;R=\frac{a\sqrt{21}}{3}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXERCITIUL 3

Postat în APLICATII ALE TRIGONOMETRIEI IN GEOMETRIE|Vezi comentarii (0)

LE FRANCAIS

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

EXERCITIUL 1

EXERCITIUL 2

EXERCITIUL 3

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului