Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 29 Ianuarie, 2010

ANALIZĂ-36

Suport teoretic:

Functii trigonometrice inverse, domeniul de definitie al unei functii, identitati trigonometrice remarcabile, calculul limitei unui sir.

Enunt:

Fie functia f:D - > R, f(x) = arcsin(1 - x²) - arccos(1 - |2 - x²|).

Sa se determine domeniul maxim de definitie D al functiei f.
Sa se arate ca f(a) = f(b), pentru orice alegere a numerelor reale a si b din domeniul maxim de definitie al functiei f.
Sa se calculeze limita L a sirului:

$y_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}f(\frac{1}{k^2})}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}.$ y_{n}=\frac{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}f(\frac{1}{k^2})}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}.

Raspuns:

$\mathcal{D}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}].$ \mathcal{D}=[-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Functia f este constanta.
$L=-\frac{\pi}{2}.$ L=-\frac{\pi}{2}.

Rezolvare:

1) Pentru a afla domeniul maxim de definitie trebuie rezolvat sistemul:

$\begin{cases}{-1}\le{1-x^2}\le{+1}\\{-1}\le{1-|2-x^2|}\le{+1}\end{cases}.$ \begin{cases}{-1}\le{1-x^2}\le{+1}\\{-1}\le{1-|2-x^2|}\le{+1}\end{cases}.

De aici se obtine imediat ca:

${x}\in{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}=D.$ {x}\in{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}=D.

2) In conditia de mai sus, avem

1 - |2 - x²| = 1 - 2 + x² = x² - 1 si, deci:

$f(x)={arcsin}(1-x^2)-{arccos}(x^2-1)={arcsin}(1-x^2)+{arccos}(1-x^2)-{\pi}$ f(x)={arcsin}(1-x^2)-{arccos}(x^2-1)={arcsin}(1-x^2)+{arccos}(1-x^2)-{\pi} $=\frac{\pi}{2}-{\pi}=-\frac{\pi}{2}.$ =\frac{\pi}{2}-{\pi}=-\frac{\pi}{2}.

Prin urmare functia f este constanta si

$f(x)=-\frac{\pi}{2},\;\forall{x}\in{D};$ f(x)=-\frac{\pi}{2},\;\forall{x}\in{D};

deducem de aici ca

$f(a)=f(b)=-\frac{\pi}{2},\;\forall{a,b}\in{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}.$ f(a)=f(b)=-\frac{\pi}{2},\;\forall{a,b}\in{[-\sqrt{2},\sqrt{2}]}.

Observatie:

Faptul ca functia este constanta pe domeniul sau maxim de definitie poate fi probat si

aratand ca derivata functiei f este nula pe domeniul sau maxim de definitie.

3) In conditiile de mai sus, rezulta ca:

$\lim_{n\rightarrow{\infty}}{y_n}=$ \lim_{n\rightarrow{\infty}}{y_n}= $\lim_{n\rightarrow{\infty}}$ \lim_{n\rightarrow{\infty}} $\frac{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}{f(\frac{1}{k^2})}}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}=\lim_{n\rightarrow{\infty}}\frac{(-\frac{\pi}{2})\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}}}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}=...={-\frac{\pi}{4}}\cdot{\lim_{n\rightarrow{\infty}}{\frac{2n+1}{n+2}}}=-\frac{\pi}{2}.$ \frac{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}{f(\frac{1}{k^2})}}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}=\lim_{n\rightarrow{\infty}}\frac{(-\frac{\pi}{2})\cdot{\sum_{k=1}^{k=n}{k^2}}}{\sum_{k=1}^{k=n}{k(k+1)}}=...={-\frac{\pi}{4}}\cdot{\lim_{n\rightarrow{\infty}}{\frac{2n+1}{n+2}}}=-\frac{\pi}{2}.