Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»ALGORITMUL LUI EUCLID (polinoame)

Calculul c.m.m.d.c. sau al c.m.m.m.c. pentru două polinoame, folosind

descompunerile acestora în factori ireductibili este, de multe ori, dificil de

efectuat.

Rezolvarea acestei probleme cu ajutorul algoritmului lui Euclid (folosit şi în

cazul numerelor întregi) este infinit simplificată, întrucât totul se reduce

la câteva împărţiri succesive (vezi TEORIE).

TEORIE

Data publicarii: 09.06.2010

Fie doua polinoame f,g de K[X], unde K este un corp comutativ (camp)

(cazurile cel mai des intalnite fiind multimea numerelor complexe si multimea

claselor de resturi modulo n, cu n numar prim).

Pentru identificarea polinomului (f,g) (c.m.m.d.c. al polinoamelor f si g) se parcurg

urmatoarele etape:

1) Dacă f = g =O (ambele sunt egale cu polinomul nul), atunci (f,g) = O.

2) Dacă f = O, iar g este nenul, atunci (f,g) = g, iar daca g = O, iar f este nenul,

atunci (f,g) = f.

3) Fie f şi g doua polinoame nenule, astfel incat grad(f) > grad(g).

Conform teoremei impartirii cu rest,

$\exists{q_1,r_1}\in{K[X]},$ \exists{q_1,r_1}\in{K[X]},

astfel incat:

$f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.$ f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.

Avem cazurile:

$a)\; r_1=0.\;Atunci\;(f,g)=g.$ a)\; r_1=0.\;Atunci\;(f,g)=g.

$b)\;{ r_1}\not={0},\;atunci\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;astfel\;incat:$ b)\;{ r_1}\not={0},\;atunci\;\exists{q_2,r_2}\in{K[X]},\;astfel\;incat:

$g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.$ g={r_1}{q_2}+{r_2},\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.

$1)\;Daca\;{r_2}=0,\;atunci\;(f,g)={r_1}.$ 1)\;Daca\;{r_2}=0,\;atunci\;(f,g)={r_1}.

$2)\;Daca\;{r_2}\not={0},$ 2)\;Daca\;{r_2}\not={0},

atunci se continua procedeul, obtinand relatiile:

$f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.$ f=gq_1+r_1,\;{grad(r_1)}<{grad(g)}.

$g=r_1q_2+r_2,\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.$ g=r_1q_2+r_2,\;{grad(r_2)}<{grad(r_1)}.

$r_1=r_2q_3+r_3,\;{grad(r_3)}<{grad(r_2)}.$ r_1=r_2q_3+r_3,\;{grad(r_3)}<{grad(r_2)}.

...................................................................................

$r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{grad(r_{n+1})}<{grad(r_n)}.$ r_{n-1}=r_nq_{n+1}+r_{n+1},\;{grad(r_{n+1})}<{grad(r_n)}.

...................................................................................

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în ALGORITMUL LUI EUCLID (polinoame)|Vezi comentarii (1)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 09.06.2010

Suport teoretic:

Radacini comune a doua polinoame, algoritmul lui Euclid.

Enunt:

Sa se gaseasca radacinile comune ale polinoamelor

${f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.$ {f,g}\in{\mathbb{C}}[X],\;f=X^4+X^3+2X^2+X+1,\;g=X^3+X^2+X+1.

Raspuns:

x1 = - i, x2 = + i.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în ALGORITMUL LUI EUCLID (polinoame)|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 17.06.2010

Suport teoretic:

Polinoame cu coeficienti in multimea claselor de resturi modulo 5, cmmdc al doua polinoame (codivizor maxim), teorema impartirii cu rest la polinoame, polinoame asociate in divizibilitate, polinoame unitare.

Enunt:

Sa se afle cmmdc al urmatoarelor polinoame, cu coeficienti in corpul comutativ al

claselor de resturi modulo 5:

${f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.$ {f,g}\in{\mathbb{Z}_5},\;f=X^4+X^3+\hat{4}X^2+X+\hat{3},\;g=X^3+\hat{2}X+\hat{2}.

Raspuns:

$(f,g)=X^2+X+\hat{3}.$ (f,g)=X^2+X+\hat{3}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 2

Postat în ALGORITMUL LUI EUCLID (polinoame)|Vezi comentarii (0)

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

EXEMPLUL 1

EXEMPLUL 2

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului