Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 18 Decembrie, 2009

ALGEBRA-20

Suport teoretic:

Lege de compozitie definita pe o multime, parte stabila fată de o lege de compozitie, element neutru al unei multimi fata de o lege de compozitie.

Enunt:

Se dă legea de compoziţie:

${x}\star{y}=\frac{2x+2y-4xy+3}{2(2x+2y+4xy+1)}.$ {x}\star{y}=\frac{2x+2y-4xy+3}{2(2x+2y+4xy+1)}.

a) Sa se arate ca multimea

$(-\infty,-\frac{1}{2})$ (-\infty,-\frac{1}{2})

este parte stabila fata de aceasta lege;

b) Sa se arate ca nu exista element neutru.

Rezolvare:

a) Trebuie arătat că pentru orice două elemente x şi y din intervalul

$(-\infty,-\frac{1}{2}),\;rezulta\;ca$ (-\infty,-\frac{1}{2}),\;rezulta\;ca ${{x}\star{y}}\in{(-\infty,-\frac{1}{2})}.\;Deci:$ {{x}\star{y}}\in{(-\infty,-\frac{1}{2})}.\;Deci:

${{x}\star{y}}<{-\frac{1}{2}}$ {{x}\star{y}}<{-\frac{1}{2}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\frac{2x+2y-4xy+3}{2(2x+2y+4xy+1)}+\frac{1}{2}<0$ \frac{2x+2y-4xy+3}{2(2x+2y+4xy+1)}+\frac{1}{2}<0 $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${\frac{x+y+1}{(2x+1)(2y+1)}}<0,$ {\frac{x+y+1}{(2x+1)(2y+1)}}<0,

evident adevărat, pentru orice alegere a numerelor x şi y din intervalul respectiv.

b) Se presupune că există un număr e din intervalul

$(-\infty,-\frac{1}{2}),\;astfel\;{incat}\;{x}\star{e}=x,\;\forall{x<-\frac{1}{2}}.\;Deci:$ (-\infty,-\frac{1}{2}),\;astfel\;{incat}\;{x}\star{e}=x,\;\forall{x<-\frac{1}{2}}.\;Deci: