Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»ALGEBRA ELEMENTARA - clasa X

Data publicarii: 18 Decembrie, 2009

ALGEBRA-22

Suport teoretic:

Functie de gradul intai, functie logaritm natural, inecuatie de gradul intai cu parametru real.

Enunt:

Fie functia f:R - > R, f(x) = xln(1 + m) - ln(2 - m).

Sa se afle parametrul real m, astfel incat:

${f(x)}\ge{0},\;\forall{x}\in{[2,+\infty)}.$ {f(x)}\ge{0},\;\forall{x}\in{[2,+\infty)}.

Raspuns:

$m\in{[\frac{-3+\sqrt{13}}{2},2}).$ m\in{[\frac{-3+\sqrt{13}}{2},2}).

Rezolvare:

Din condiţiile de existenţă ale logaritmilor se obţine:

m in (-1;2); (1).

Dacă ln(1 + m) = 0, adică m = 0, avem f(x) = - ln2 < 0, oricare ar fi x real, ceea ce nu

convine.

Dacă ln(1 + m) < 0, adică m in (-1;0), atunci funcţia f, de gradul întâi, este strict

descrescătoare, ceea ce iarăşi nu convine.

Rămâne de analizat cazul ln(1 + m) > 0, adică m in (0;2):

Funcţia f, de gradul întâi, strict crescătoare, trebuie să se anuleze într-un punct

xo in [2,+oo), adica:

${x_{\circ}}=\frac{ln(2-m)}{ln(1+m)}\le{2}$ {x_{\circ}}=\frac{ln(2-m)}{ln(1+m)}\le{2} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${ln(2-m)}\le{ln(1+m)^2}$ {ln(2-m)}\le{ln(1+m)^2} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${2-m}\le{(1+m)^2}\;etc.$ {2-m}\le{(1+m)^2}\;etc.