Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 18 Decembrie, 2009

ALGEBRA-21

Suport teoretic:

Functie multiforma depinzand de doi parametri reali, monotonia functiei de gradul intai.

Enunt:

Se dă functia f:R - >R,

$f(x)=\begin{cases}ax+a^2-5a,\;x\in{(-\infty,0]}\\bx-4,\;x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}ax+a^2-5a,\;x\in{(-\infty,0]}\\bx-4,\;x\in{(0,+\infty)}\end{cases}.

Sa se afle parametrii reali a si b, astfel incat functia f sa fie strict monotona.

Raspuns:

S = {(a,b)|a € [1;4], b € (0,+οο)} U (a,b)|a € (-oo,0), b € (-oo,0)}.

Rezolvare:

Ipoteza impune în mod evident ca a şi b să fie numere reale nenule şi de acelaşi

semn.

Cazul 1: a > 0, b > 0.

Notând cele două restricţii ( ambele de gradul întâi, strict crescătoare) ale funcţiei f cu

f1(x) = ax + a² - 5a şi f2(x) = bx - 4,

deducem că pentru asigurarea monotoniei stricte trebuie ca:

${{f_1}(0)}\le{{f_2}(0)}$ {{f_1}(0)}\le{{f_2}(0)} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${a^2-5a}\le{-4}$ {a^2-5a}\le{-4} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $a\in{[1;4]};$ a\in{[1;4]};

Rezultă:

S1 = {(a,b)|a in [1;4], b > 0}.

Cazul 2: a < 0, b < 0.

Cele două restricţii sunt strict descrescătoare, deci în acest caz trebuie ca:

${{f_1}(0)}\ge{{f_2}(0)}$ {{f_1}(0)}\ge{{f_2}(0)} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow ${a^2-5a}\ge{-4}$ {a^2-5a}\ge{-4} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $a\in{(-\infty,1]\cup[4,+\infty)};$ a\in{(-\infty,1]\cup[4,+\infty)};