Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

»ALGEBRA ELEMENTARA - clasa X

Data publicarii: 18 Decembrie, 2009

ALGEBRA-20

Suport teoretic:

Functia exponentiala, graficul unei functii, cardinalul unei multimi.

Enunt:

Se dau functiile f,g:[0,+oo) - > R,

$f(x)=3^{4\sqrt{x}}\;si\;g(x)=15-{2}\cdot{3^{2\sqrt{x}}}.$ f(x)=3^{4\sqrt{x}}\;si\;g(x)=15-{2}\cdot{3^{2\sqrt{x}}}.

Fie multimea

$M=\{(x,y)\in{{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}}|(x,y)\in{{G_f}\cap{G_g}}\}.$ M=\{(x,y)\in{{\mathbb{R}}\times{\mathbb{R}}}|(x,y)\in{{G_f}\cap{G_g}}\}.

Sa se afle Card(M).

Raspuns:

Card(M)=1.

Rezolvare:

Intersecţia celor două grafice se obţine rezolvând ecuaţia:

$3^{4\sqrt{x}}=15-2\cdot{3}^{2\sqrt{x}}$ 3^{4\sqrt{x}}=15-2\cdot{3}^{2\sqrt{x}} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $t^2+2t-15=0,\;unde\;t=3^{2\sqrt{x}}>{0}.$ t^2+2t-15=0,\;unde\;t=3^{2\sqrt{x}}>{0}.

Se obţine soluţia convenabilă t = 3, care, ţinând cont de substituţia de mai sus,

conduce la:

$3^{2\sqrt{x}}=3$ 3^{2\sqrt{x}}=3 $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $\dots$ \dots $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $x=\frac{1}{4}\Rightarrow$ x=\frac{1}{4}\Rightarrow $y=f(\frac{1}{4})=...=9,$ y=f(\frac{1}{4})=...=9, $deci\;{G_f}\cap{G_g}=\{(\frac{1}{4},9)\}.$ deci\;{G_f}\cap{G_g}=\{(\frac{1}{4},9)\}.