Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu.

Data publicarii: 21 Noiembrie, 2009

ALGEBRA-19

Suport teoretic:

Proprietatile modulului, proprietatile functiilor sinus si cosinus, inegalitatea Cauchy-Schwarz, inecuatia de gradul al doilea.

Enunt:

Se dă functia f:R - > R,

$f(x)=m{{{sin}^{2010}}x}\cdot{{{cos}^{2009}}x}+(m-1){{{sin}^{2009}}x}\cdot{{{cos}^{2010}}x}.$ f(x)=m{{{sin}^{2010}}x}\cdot{{{cos}^{2009}}x}+(m-1){{{sin}^{2009}}x}\cdot{{{cos}^{2010}}x}.

Sa se afle numarul real m, astfel incat:

$Imf\subset{(-1;+1)}.$ Imf\subset{(-1;+1)}.

Raspuns:

m € (0;1).

Solutie:

$|f(x)|={|{({sinx}\cdot{cosx})}^{2009}|}$ |f(x)|={|{({sinx}\cdot{cosx})}^{2009}|} $\cdot{|{msinx}+(m-1){cosx}|}<{\sqrt{m^2+{(m-1)}^2}}\cdot{\sqrt{{{sin}^{2}}x+{{cos}^{2}}x}},$ \cdot{|{msinx}+(m-1){cosx}|}<{\sqrt{m^2+{(m-1)}^2}}\cdot{\sqrt{{{sin}^{2}}x+{{cos}^{2}}x}},