Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»ALGEBRA SUPERIOARA

Data publicarii: 02 Decembrie, 2009

ALGEBRA-18

Suport teoretic:

Elementul neutru al unei legi de compozitie, inductia matematica, calculul unei sume.

Enunt:

Sa se afle relatia dintre parametrii reali m si n, astfel incat legea de compozitie

xoy = mxy + n(x + y) + m + n, oricare ar fi x si y reali, sa admita element neutru.

In acest caz, pentru m = 0, sa se rezolve ecuatia:

$\sum_{k=1}^{k=p}{x^k}=p^2,$ \sum_{k=1}^{k=p}{x^k}=p^2, unde $x^k=\begin{matrix}k\\\overbrace{xoxo{\cdots}ox}\end{matrix}.$ x^k=\begin{matrix}k\\\overbrace{xoxo{\cdots}ox}\end{matrix}.

Raspuns:

m² + mn - n² + n = 0; x = 1.

Rezolvare:

Conform definiţiei elementului neutru, există e real, astfel încât, pentru orice x real:

xoe = eox = x; intrucât legea este comutativă, se obţine egalitatea

(mx + n)e = (1- n)x - m - n.

Întrucât elementul neutru este independent de x real, deducem că polinoamele

f = mX + n şi g = (1 - n)X - m - n sunt asociate în divizibilitate, adică au coeficienţii

proporţionali:

$\frac{1-n}{m}=\frac{-m-n}{n}$ \frac{1-n}{m}=\frac{-m-n}{n} $\Leftrightarrow$ \Leftrightarrow $m^2+mn-n^2+n=0.$ m^2+mn-n^2+n=0.

Dacă m = 0, trebuie ca n = 1 şi deducem e = - 1, iar xoy = x + y + 1.

Dacă n = 0, trebuie ca şi n = 0, caz în care elementul neutru e nu există.

Folosind, deci, legea xoy = x + y + 1, deducem că xox = 2x + 1, xoxox = 3x+ 2

ş.a.m.d.; prin inducţie matematică se obţine că ecuaţia

$\sum_{k=1}^{k=p}{x^k}=p^2$ \sum_{k=1}^{k=p}{x^k}=p^2 devine $\sum_{k=1}^{k=p}(kx+k-1)=p^2$ \sum_{k=1}^{k=p}(kx+k-1)=p^2

şi, în final, după calculul sumei, obţinem (p + 1)x = p + 1, deci x = 1.

Postat în ALGEBRA SUPERIOARA

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

ALGEBRA-18

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului