Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GRUPURI

Numeroasele similitudini între proprietăţile operaţiilor cu numere complexe,
vectori, matrice, polinoame etc au constituit punctul de plecare în
construcţia unei teorii unitare, de nivel superior, care înglobeaza mulţimi de
obiecte matematice, înzestrate cu proprietăţi comune, faţă de operaţii
definite în mod abstract.
Astfel a luat naştere teoria structurilor algebrice, care, pornind de la noţiunea
de lege de compoziţie (operaţie algebrică), sistematizează şi simplifică enorm
studiul numeroaselor mulţimi de obiecte matematice cum ar fi numerele
complexe (naturale, întregi, raţionale, reale, complexe nereale), vectorii,
transformările geometrice (simetrii, rotaţii etc), permutările, matricele,
polinoamele, funcţiile continue etc.
In cele ce urmează, sunt prezentate cunoştinţe esenţiale despre noţiunea de
grup, pe baza căreia se definesc celelalte structuri algebrice.

TEORIE

Data publicarii: 12.01.2009

Definitie:

Perechea (M,*), unde M este o multime nevida, pe care s-a definit o lege de

compozitie *, asociativa si care este dotata cu element neutru, se numeste monoid.

Daca, in plus, legea este comutativa, atunci monoidul se numeste comutativ sau

abelian.

Exemplu: multimea matricelor patratice, inzestrata cu operatia de inmultire este

monoid necomutativ.

Definitie:

Fie o multime nevida G, inzestrata cu o lege de compozitie interna (peste tot definita),

notata o .

Daca:

a) Legea ° este asociativă:

(x ° y) ° z = x ° (y ° z), oricare ar fi x, y, z din G},

b) Există element neutru:

exista e in G, astfel incat x ° e = e ° x = x, oricare ar fi x in G,

c) Toate elementele din G sunt simetrizabile:

oricare ar fi x in G, exista x' in G, astfel incat x ° x' = x' ° x = e,

atunci spunem că perechea (G, °) formează o structură de grup.

Dacă, în plus, legea este comutativă, atunci cuplul (G, °) se numeşte

grup comutativ sau abelian.

Exemplu: multimea numerelor intregi, inzestrata cu operatia de adunare uzuala, este

grup abelian.

Definitie:

Fie (G, °) un grup si H o submultime nevida a multimii G.

Cuplul (H, °) se numeste subgrup al grupului (G, °), daca perechea (H,°) este grup.

Notatie: ${H}\leq{G}.$ {H}\leq{G}.

Exemplu: grupul radacinilor de ordinul n ale unitatii este subgrup al grupului numerelor

complexe nenule fata de operatia de inmultire uzuala.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în GRUPURI|Vezi comentarii (1)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 13.05.2011

Clase de resturi modulo n.

In multimea claselor de resturi modulo n se definesc operatiile de:

1) Adunare:

$\hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}$ \hat{a}+\hat{b}=\widehat{(a+b)(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}

2) Inmultire:

${\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.$ {\hat{a}}\cdot{\hat{b}}=\widehat{({a}\cdot{b})(mod\; n)},\;\forall{a,b}\in{\mathbb{Z}_n}.

Exemple:

Sa cercetam, cu ajutorul tablelor acestor legi (numite si tablele lui Caylay), daca

urmatoarele cupluri formeaza grupuri:

$(\mathbb{Z}_5,+),\; (\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;si\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).$ (\mathbb{Z}_5,+),\; (\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\;si\;(\mathbb{Z}_4^*,\cdot).

$(\mathbb{Z}_5,+):$ (\mathbb{Z}_5,+):

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în GRUPURI|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 17.08.2011

Suport teoretic:

Legi de compozitie, grup abelian, metoda inductiei matematice, rezolvarea unei ecuatii intr-un grup.

Enunt:

Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie:

x o y = ax + by + ab.

a) Sa se afle parametrii reali si nenuli a si b, astfel incat perechea (R, o ) sa fie grup abelian.

b) Sa se calculeze in (R, o), pentru n natural, n > 1:

$x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.$ x^n=\begin{matrix}\underbrace{{x}\circ{x}\circ\cdots\circ{x}}\\n\end{matrix}.