Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»SISTEME DE ECUATII LINIARE

Sunt aici prezentaţi algoritmii

( la baza cărora stau teoremele Rouché şi Kronecker-Capelli )

utilizaţi pentru studierea compatibilităţii unui sistem linar de m ecuaţii cu n

necunoscute şi calcularea eventualelor soluţii.

TEORIE

Data publicarii: 11.01.2009

Definitii:

1) Fie A = (aij) € Mmn (C) si numerele complexe b1, b2, ... , bm.

Sistemul de ecuatii de forma

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$ \begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}

se numeste sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute.

2) Matricea A se numeste matricea sistemului, sau matricea coeficientilor sistemului;

3) Numerele b1, b2, ... , bm se numesc termenii liberi; matricea

${B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}$ {B=\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right)}

se numeste matricea coloana a termenilor liberi, iar matricea, notata

$\bar{A}\;sau\;{A/B},$ \bar{A}\;sau\;{A/B}, care se obtine din matricea sistemului prin bordare la

dreapta cu coloana termenilor liberi, deci

$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),$ \bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}&{b_{1}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}&{b_{2}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}&{b_{m}}\\\end{array}\right),

se numeste matricea extinsa a sistemului;

4) Daca matricea B este nula, atunci sistemul se numeste sistem omogen.

5) Cu notatiile de mai sus, ecuatia A · X = B, adica

$\left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),$ \left(\begin{array}{cccc}{a_{11}}&{a_{12}}&\cdots&{a_{1n}}\\{a_{21}}&{a_{22}}&\cdots&{a_{2n}}\\\cdots\\{a_{m1}}&{a_{m2}}&\cdots&{a_{mn}}\\\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}{x_1}\\{x_2}\\\cdots\\{x_n}\\\end{array}\right)=\bf\left(\begin{array}{c}{b_1}\\{b_2}\\\cdots\\{b_m}\\\end{array}\right),

poarta numele de forma matriciala a sistemului liniar.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în SISTEME DE ECUATII LINIARE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 21.08.2010

Suport teoretic:

Sistem de ecuatii liniare, teorema lui Rouché, rangul matricei sistemului, minor principal, minori caracteristici, ecuatii principale, ecuatii secundare, necunoscute principale, necunoscute secundare, sistem compatibil dublu nedeterminat.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea numerelor reale urmatorul sistem:

$\begin{cases}x-y+z+t=1\\-x+y+z-t=0\\x-y+3z+t=2\\2x-2y+4z+2t=3\\-x+y+3z-t=1\end{cases}.$ \begin{cases}x-y+z+t=1\\-x+y+z-t=0\\x-y+3z+t=2\\2x-2y+4z+2t=3\\-x+y+3z-t=1\end{cases}.

Raspuns:

S = {(α, β, 1/2, 1/2 - α + β)|α, β € R)}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în SISTEME DE ECUATII LINIARE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 05.11.2010

Suport teoretic:

Sistem liniar omogen, proprietatile logaritmilor.

Enunt:

Sa se rezolve sistemul liniar si omogen de mai jos, unde 0 < a < 1, b > 1:

$\begin{cases}xlog_ab+y+log_ba+z=0\\xlog_ab+y+zlog_ba=0\\x+ylog_ab+zlog_ba=0\end{cases}.$ \begin{cases}xlog_ab+y+log_ba+z=0\\xlog_ab+y+zlog_ba=0\\x+ylog_ab+zlog_ba=0\end{cases}.

Raspuns:

S = {(0, 0, 0)}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 2

Postat în SISTEME DE ECUATII LINIARE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 3

Data publicarii: 16.06.2011

Suport teoretic:

Sisteme liniare, clase de resturi modulo n, corp comutativ, regula lui Cramer.

Enunt:

Sa se rezolve in multimea claselor de resturi modulo 7 urmatorul sistem de ecuatii

liniare:

$\begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{3}z=\hat{1}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\\\hat{3}x+\hat{2}y+z=\hat{3}\end{cases}.$ \begin{cases}\hat{2}x+y+\hat{3}z=\hat{1}\\x+y+\hat{2}z=\hat{1}\\\hat{3}x+\hat{2}y+z=\hat{3}\end{cases}.