Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»GEOMETRIE SINTETICA IN SPATIU

Data publicarii: 01 Septembrie, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Trunchi de piramida regulata, prisma triunghiulara, volumul unui poliedru.

Enunt:

Fie trunchiul de piramida patrulatera regulata [ABCDA'B'C'D'], in care latura bazei mari

este AB = L, latura bazei mici este A'B' = l, iar inaltimea este h.

Sa se afle volumele poliedrelor obtinute prin sectionarea trunchiului cu planul (A'B'CD).

Raspuns:

${\mathcal{V}}_1={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)},\;{\mathcal{V}}_2={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.$ {\mathcal{V}}_1={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)},\;{\mathcal{V}}_2={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.

Rezolvare:

Planul de sectiune delimiteaza poliedrele [ABCDA'B'] si [A'B'C'D'DC].

Primul este alcatuit dintr-o prisma triunghiulara si 2 piramide congruente,

volumul sau fiind:

$\mathcal{V}_1=\frac{Lhl}{2}+{2}\cdot{\frac{{Lh}\cdot{\frac{L-l}{2}}}{3}}=\cdots={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}.$ \mathcal{V}_1=\frac{Lhl}{2}+{2}\cdot{\frac{{Lh}\cdot{\frac{L-l}{2}}}{3}}=\cdots={\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}.

Volumul celui de al doilea este egal cu diferenta dintre volumul trunchiului de piramida

si volumul calculat mai sus:

$\mathcal{V}_2={\frac{h}{3}}\cdot{(L^2+l^2+Ll)}-{\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}=\cdots={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.$ \mathcal{V}_2={\frac{h}{3}}\cdot{(L^2+l^2+Ll)}-{\frac{Lh}{6}}\cdot{(2L+l)}=\cdots={\frac{lh}{6}}\cdot{(2l+L)}.