Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE

Data publicarii: 28 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Functie multiforma, functie derivabila, functie continua, limite laterale, regula lui l"Hospital, corolarul teoremei lui Lagrange.

Enunt:

Sa se afle parametrii reali a si b, astfel incat functia urmatoare sa fie derivabila pe

domeniul sau de definitie:

f:(0,+ 00) - > R,

$f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.

Raspuns:

a = - 1/2, b = 3/2.

Rezolvare:

Derivabilitatea impune continuitatea functiei f, evident, in punctul x = 1. Fie:

$f_s(1)={lim}_{x\nearrow{1}}{\frac{lnx}{x-1}}=\frac{\frac{0}{0}}{l$ f_s(1)={lim}_{x\nearrow{1}}{\frac{lnx}{x-1}}=\frac{\frac{0}{0}}{l'H}={lim}_{x\nearrow{1}}{\frac{\frac{1}{x}}{1}}=1,\;(1)

$f_d(1)={lim}_{x\searrow{1}}{(ax+b)}=a+b,\;(2)$ f_d(1)={lim}_{x\searrow{1}}{(ax+b)}=a+b,\;(2)

$f(1)=a+b,\;(3).$ f(1)=a+b,\;(3).

Din (1), (2) si (3) obtinem relatia: a + b = 1, in baza careia legea functiei devine:

$f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+1-a,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+1-a,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.