Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 26 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Functie continua, functie multiforma, limite laterale, operatie exceptata, regula lui l'Hospital.

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia urmatoare este continua pe domeniul sau de definitie:

$f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},$ f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}}, $f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.

Demonstratie:

Este suficient sa se arate ca functia este continua in x = 2, adica limitele laterale in

x = 2 exista si sunt egale cu valoarea functiei in x = 2. Deci:

$f_s(2)={lim}_{x\nearrow{2}}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}}=$ f_s(2)={lim}_{x\nearrow{2}}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}}= $e^{{lim}_{x\nearrow{2}}{({tg}{\frac{\pi}{x})}\cdot{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}}=$ e^{{lim}_{x\nearrow{2}}{({tg}{\frac{\pi}{x})}\cdot{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}}= $e^{{lim}_{x\nearrow{2}}}$ e^{{lim}_{x\nearrow{2}}} $\frac{{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}{{ctg}{\frac{\pi}{x}}}.$ \frac{{ln}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})}{{ctg}{\frac{\pi}{x}}}.