Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

Data publicarii: 25 August, 2010

EXEMPLUL 1

Suport teoretic:

Siruri convergente, definitia limitei unui sir, partea intreaga a unui numar real, rezolvarea unei inecuatii, modulul unui numar real, vecinatate simetrica a limitei, rangul unui termen.

Enunt:

Fie sirul de numere reale, definit prin (an) cu n € Ν*, an = (1 - 2n) / (3n - 1 ).

Sa se demonstreze, folosind definitia cu ε, ca lim(an) = - 2/3.

Demonstratie:

Vom arata ca pentru orice ε > 0 exista N(ε), astfel incat pentru orice n mai mare sau

egal cu N(ε) : |an + 2/3| < ε.

Inecuatia |an + 2/3| < ε devine, dupa cateva calcule elementare:

n > (3ε + 1)/(9ε).

Notand N(ε) = [(3ε + 1)/(9ε)] + 1, deducem ca:

exista N(ε) € N, astfel incat oricare ar fi n mai mare sau egal cu N(ε)}:

|an + 2/3| < ε, deci: lim(an) = - 2/3.

Observatii:

1) Numarul N(ε) este natural si el reprezinta rangul incepand de la care

toti termenii sirului (exceptand, eventual, un numar finit dintre acestia), se gasesc in

vecinatatea simetrica a limitei:

an € (- 2/3 - ε,- 2/3 + ε), oricare ar fi n mai mare sau egal cu N(ε).

2) Pentru

ε = 1, N(ε) = N(1) = [(3 + 1)/9] + 1 = ... = 1.

Rezulta ca pentru orice n mai mare sau egal cu 1, toti termenii sirului sunt in

vecinatatea simetrica (- 2/3 - 1,- 2/3 + 1) a limitei, deci nu exista termeni in afara

acestei vecinatati !

Pentru

ε = 1/10, N(ε) = N(1/10) = ... = 2.

Rezulta ca pentru orice n mai mare sau egal cu 2, toti termenii sirului sunt in

vecinatatea simetrica (- 2/3 - 1/10, - 2/3 + 1/10) a limitei, deci doar primul termen

este in afara acesteia!

Este usor de inteles ca valori din ce in ce mai mici atribuite lui ε lasa

mai multi termeni ai sirului (in numar finit!) in afara vecinatatii limitei,

dar, oricum, in vecinatate sunt intotdeauna un numar infinit de termeni (acest lucru se

intampla in cazul sirurilor cu limita!).

3) Evident, limita poate fi calculata pe scurt:

lim(an) = lim(1 - 2n)/(3n - 1) = lim[n(1/n - 2)]/[n(3 - 1/n)] = ... = - 2/3.

(Dar metoda era precizata in enunt...)

Postat în LIMITE DE SIRURI

Revino la categoria principală

Adăugaţi un comentariu

Răspunsuri şi comentarii

Până acum, niciun comentariu nu a fost adăugat.

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

EXEMPLUL 1

Răspunsuri şi comentarii

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului