Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»VECTORI

Cunoştinţele de calcul vectorial, prezentate mai jos, oferă un instrument de

lucru foarte puternic pentru unele probleme de geometrie şi nu numai.

VECTORI IN PLAN

Data publicarii: 27.02.2009

Formula lui Chasles:

Oricare ar fi punctele M, N si P, avem:

$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.$ \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}.

Vectori coliniari:

Doi vectori (multimi de segmente orientate echipolente) sunt coliniari daca au aceeasi

directie.

Vectori echipolenti:

Doi vectori avand aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul se numesc vectori

echipolenti.

Teorema:

Vectorii $\vec{a}\: si\:\vec{b}$ \vec{a}\: si\:\vec{b} sunt coliniari daca si numai daca exista λ € R,

astfel incat

$\vec{a}={\alpha}{b},$ \vec{a}={\alpha}{b},

sau exista β € R, astfel incat

$\vec{b}={\beta}{\vec{a}},$ \vec{b}={\beta}{\vec{a}},

sau exista p, q € R, nu ambele nule, astfel incat

${p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.$ {p}{\vec{a}}+{q}{\vec{b}}=\vec{0}.

Centrul de greutate al unui triunghi:

Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca

${\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.$ {\overrightarrow{GA}}+{\overrightarrow{GB}}+{\overrightarrow{GC}}={\overrightarrow{0}}.

Punctul G este centrul de greutate al triunghiului ABC daca si numai daca orice

punct M din plan verifica relatia

${\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).$ {\overrightarrow{MG}}={\frac{1}{3}}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}).

Descompunerea unui vector (dupa doi vectori necoliniari):

Fiind dati doi vectori necoliniari $\vec{u}\:si\:\vec{v},$ \vec{u}\:si\:\vec{v}, pentru orice vector

$\vec{w}$ \vec{w} din plan exista numerele α, β € R, unic determinate, astfel incat:

$\vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.$ \vec{w}={\alpha}{\vec{u}}+{\beta}{\vec{v}}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: VECTORI IN PLAN

Postat în VECTORI|Vezi comentarii (5)

VECTORI IN SPATIU

Data publicarii: 30.03.2011

Expresia analitica a unui vector:

${\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}}+{({z_B}-{z_A})}{\vec{k}},$ {\overrightarrow{AB}}={({x_B}-{x_A})}{\vec{i}}+{({y_B}-{y_A})}{\vec{j}}+{({z_B}-{z_A})}{\vec{k}},

unde A(xA,yA,zA) si B(xB,yB,zB).

Produsul scalar a doi vectori:

Se numeste produsul scalar al vectorilor

$\vec{a}\:si\:\vec{b}$ \vec{a}\:si\:\vec{b}

numarul real, notat

${\vec{a}}\cdot{\vec{b}},$ {\vec{a}}\cdot{\vec{b}},

definit prin:

${\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.$ {\vec{a}}\cdot{\vec{b}}={|\vec{a}|}\cdot{|\vec{b}|}\cdot{\cos{(\widehat{\vec{a},\vec{b}})}}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: VECTORI IN SPATIU

Postat în VECTORI|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 30.08.2010

Suport teoretic:

Triunghi dreptunghic, centru de greutate, teorema bisectoarei, norma unui vector.

Enunt:

In triunghiul dreptunghic ABC (Â - drept) se da: AB = 4a, AC = 3a, a > 0,

G - centrul de greutate, iar D - piciorul bisectoarei din varful C.

Sa se calculeze lungimea segmentului DG.

Raspuns:

$DG=\frac{a\cdot{\sqrt{37}}}{6}.$ DG=\frac{a\cdot{\sqrt{37}}}{6}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în VECTORI|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 19.09.2010

Suport teoretic:

Operatii cu vectori in plan, proportii derivate, asemanarea triunghiurilor, puncte coliniare.

Enunt:

Fie ABCD un paralelogram si E,F doua puncte, astfel incat

$\overrightarrow{BE}={k}\cdot{\overrightarrow{BC}},\;{(k+1)}\cdot{\overrightarrow{FB}}={k}\cdot{\overrightarrow{BD}}=\overrightarrow{0},\;{k}>{1}.$ \overrightarrow{BE}={k}\cdot{\overrightarrow{BC}},\;{(k+1)}\cdot{\overrightarrow{FB}}={k}\cdot{\overrightarrow{BD}}=\overrightarrow{0},\;{k}>{1}.

a) Sa se arate ca punctele A, F si E sunt coliniare;

b) Sa se afle x real, astfel incat

$\overrightarrow{DG}=x\cdot{\overrightarrow{DC}},\;unde\;\{G\}={AE}\cap{DC}.$ \overrightarrow{DG}=x\cdot{\overrightarrow{DC}},\;unde\;\{G\}={AE}\cap{DC}.