Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE

Din categoria funcţiilor continue, se remarcă prin proprietăţi speciale, foarte

utile în studiul variaţiei funcţiilor, funcţiile derivabile pe intervale

(al căror grafic admite tangentă neparalelă cu axa Oy în orice punct al

intervalelor respective).

Iată care sunt aceste proprietăţi:

TEORIE

Data publicarii: 08.11.2008

Teorema lui Fermat:

Fie funcţia f:I - > R derivabilă pe intervalul I; dacă xo este un punct de extrem local

al funcţiei f, interior intervalului I, atunci: f'(xo ) = 0.

Teorema lui Rolle:

Fie functia f:I - > R si a, b in I, a < b.

Daca:

1) f este continua pe [a,b],

2) f este derivabila pe (a,b),

3) f(a) = f(b),

atunci exista c in (a,b), astfel incat f'(c) = 0.

Sirul lui Rolle:

Fiind data o ecuatie de forma f(x) = 0, unde f:I - > R este o functie derivabila pe

intervalul I, numim sirul lui Rolle asociat functiei f, sirul semnelor valorilor

a, f(c1), f(c2), ... , f(cn), b, unde a si b sunt limitele sau valorile functiei f la capetele

intervalului I, iar c1, c2, ... , cn, sunt radacinile reale si distincte ale ecuatiei f'(x) = 0

(numite punctele critice ale functiei f), scrise in ordine crescatoare. Distingem

urmatoarele cazuri:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 28.08.2010

Suport teoretic:

Functie multiforma, functie derivabila, functie continua, limite laterale, regula lui l"Hospital, corolarul teoremei lui Lagrange.

Enunt:

Sa se afle parametrii reali a si b, astfel incat functia urmatoare sa fie derivabila pe

domeniul sau de definitie:

f:(0,+ 00) - > R,

$f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{lnx}{x-1},\;{x}\in{(0;1)}\\ax+b,\;{x}\in{[1,+\infty)}\end{cases}.

Raspuns:

a = - 1/2, b = 3/2.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 25.10.2010

Suport teoretic:

Functii bijective, functii inversabile, functii derivabile, derivata functiei inverse.

Enunt:

Fie functia f, definita pe R si cu valori in R, prin legea:

$f(x)=x^{2n+1}+x^{2n-1}+\cdots +x^3+x+1,$ f(x)=x^{2n+1}+x^{2n-1}+\cdots +x^3+x+1,

unde n este numar natural.

Sa se demonstreze ca f este inversabila si apoi sa se calculeze derivata inversei sale in

punctul y = n + 1.

Raspuns:

${(f^{-1})}^{$ {(f^{-1})}^{'}(n+1)=\frac{1}{(n+1)^2}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 2

Postat în PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 3

Data publicarii: 13.07.2011

Suport teoretic:

Functii derivabile, reguli de derivare, punctele critice ale unei functii, puncte de extrem si de inflexiune ale unei functii, ecuatii logaritmice.

Enunt:

Sa se determine punctele critice ale functiilor f si f', unde f:(0,+oo) - > R,

$f(x)=\frac{lnx+1}{\sqrt{x}}.$ f(x)=\frac{lnx+1}{\sqrt{x}}.

Raspuns:

$x=e,\;pentru\;f\;si\;x=e\sqrt[3]{e^2}\;pentru\;f^{$ x=e,\;pentru\;f\;si\;x=e\sqrt[3]{e^2}\;pentru\;f^{'}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 3

Postat în PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR DERIVABILE|Vezi comentarii (0)

LE FRANCAIS

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

Trimite un sms şi beneficiezi de consultanţă online !

Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

TEORIE

EXEMPLUL 1

EXEMPLUL 2

EXEMPLUL 3

Selecteaza acest link pentru a ma contacta prin YAHOO MESSENGER !

CATEGORII :

Arhiva blog-ului