Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»FUNCTII CONTINUE

O clasă foarte importantă de funcţii întâlnite în analiza matematică, cu

proprietăţi remarcabile (şi care produc cele mai puţine dificultăţi elevilor),

este formată din funcţiile care nu "sar" valori, anume funcţiile continue. Iată

care sunt aspectele teoretice esenţiale în legătură cu acest tip de funcţii:

TEORIE

Data publicarii: 09.11.2008

Definitii:

O functie f, reala, de argument real, definita pe D si cu valori in R, este continuă în

punctul a din D, dacă pentru oricare şir (xn), xn din D, convergent la a, sirul (f(xn)) este

convergent şi

$\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.$ \lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.

Punctul a din D se numeste punct de continuitate al functiei f, daca functia este continua in a.
Daca functia nu este continua in punctul a, ea se numeste discontinua in punctul a, iar punctul a se numeste punct de discontinuitate al functiei f.
Daca punctul a este punct de discontinuitate al functiei f, iar f(a - 0) si f(a + 0)(adica limitele la stanga si la dreapta in a) exista si sunt finite, a se numeste punct de discontinuitate de speta I al functiei f; numim puncte de discontinuitate de speta II ale functiei f toate celelalte puncte de discontinuitate.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în FUNCTII CONTINUE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 26.08.2010

Suport teoretic:

Functie continua, functie multiforma, limite laterale, operatie exceptata, regula lui l'Hospital.

Enunt:

Sa se demonstreze ca functia urmatoare este continua pe domeniul sau de definitie:

$f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}},$ f:{(0,\infty)}\rightarrow{\mathbb{R}}, $f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}(1+{cos}{\frac{\pi}{x}})^{{tg}{\frac{\pi}{x}}},\;{x}\in{(1;2)}\\e,\;x=2\\{(x-1)}^{\frac{1}{x-2}},\;{x}\in{(2;\infty)}\end{cases}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în FUNCTII CONTINUE|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 30.12.2010

Suport teoretic:

Discontinuitate de speţa intai, functie multiforma, operatii exceptate, numarul e, regula lui L'Hospital.

Enunt:

Sa se arate ca x = π/2 este punct de discontinuitate de speţa intai pentru functia cu

acolada de mai jos:

${f:(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})}\rightarrow{\mathbb{R}},$ {f:(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4})}\rightarrow{\mathbb{R}}, $f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt[3]{cos(x+\frac{\pi}{2})}+1}{tg2x},\;{x}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\\0,\;x=\frac{\pi}{2}\\{(1+tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}},\;{x}\in{(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})}\end{cases}.$ f(x)=\begin{cases}\frac{\sqrt[3]{cos(x+\frac{\pi}{2})}+1}{tg2x},\;{x}\in{(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})}\\0,\;x=\frac{\pi}{2}\\{(1+tg2x)}^{\frac{1}{2x-\pi}},\;{x}\in{(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})}\end{cases}.