Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»16) FUNCTII CONTINUE

O clasă foarte importantă de funcţii întâlnite în analiza matematică, cu proprietăţi remarcabile (şi care produc cele mai puţine dificultăţi elevilor), este formată din funcţiile care nu "sar" valori, anume funcţiile continue. Iată care sunt aspectele teoretice esenţiale în legătură cu acest tip de funcţii:

TEORIE

Data publicarii: 09.11.2008

Definitii:

$f :\mathcal{D}\rightarrow{\mathbb{R}}$ f :\mathcal{D}\rightarrow{\mathbb{R}}

o functie reala de argument real.

Funcţia f se numeşte continuă în punctul a din $\mathcal{D},$ \mathcal{D}, dacă pentru oricare şir

$({x}_{n}),$ ({x}_{n}), ${x}_{n}\in{\mathcal{D}},\;convergent\; la\; a,\;sirul\;(f({x}_{n}))$ {x}_{n}\in{\mathcal{D}},\;convergent\; la\; a,\;sirul\;(f({x}_{n}))

este convergent şi

$\lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.$ \lim_{{n}\rightarrow{\infty}}{f{({x}_{n})}} ={ f(a)}.

$Punctul\;a\in{\mathcal{D}}$ Punctul\;a\in{\mathcal{D}} $se\; numeste\; punct\; de\; continuitate\; al\; functiei\;f,$ se\; numeste\; punct\; de\; continuitate\; al\; functiei\;f, $daca\; functia\; este\; continua\; in\;a.$ daca\; functia\; este\; continua\; in\;a.
$Daca\; functia\;f :\mathcal{D}\rightarrow{\mathbb{R}}$ Daca\; functia\;f :\mathcal{D}\rightarrow{\mathbb{R}} $nu\; este\; continua\; in\; punctul\;a\in{\mathcal{D}},$ nu\; este\; continua\; in\; punctul\;a\in{\mathcal{D}}, $ea\; se\; numeste\;discontinua\; in\; punctul\;a,$ ea\; se\; numeste\;discontinua\; in\; punctul\;a, $iar\; punctul\;a\;se\; numeste\;punct\; de\; discontinuitate\; al\; functiei\;f.$ iar\; punctul\;a\;se\; numeste\;punct\; de\; discontinuitate\; al\; functiei\;f.
$Daca\; punctul\;a\in{\mathcal{D}}$ Daca\; punctul\;a\in{\mathcal{D}} $este\; punct\; de\; discontinuitate\; al\; functiei\;f,$ este\; punct\; de\; discontinuitate\; al\; functiei\;f, $iar\;{f(a-0)}\:{si}\:{f(a+0)}$ iar\;{f(a-0)}\:{si}\:{f(a+0)} $(adica\; limitele\; la\; stanga\; si\; la\; dreapta\; in\;a)$ (adica\; limitele\; la\; stanga\; si\; la\; dreapta\; in\;a) $exista\; si\; sunt\; finite,$ exista\; si\; sunt\; finite, $a\;se\; numeste$ a\;se\; numeste $punct\; de\; discontinuitate\; de\; speta\; I\;al\; functiei\;f;$ punct\; de\; discontinuitate\; de\; speta\; I\;al\; functiei\;f; $numim$ numim $puncte\; de\; discontinuitate\; de\; speta\; II\;ale\;functiei\;f$ puncte\; de\; discontinuitate\; de\; speta\; II\;ale\;functiei\;f $toate\; celelalte\; puncte\; de\; discontinuitate.$ toate\; celelalte\; puncte\; de\; discontinuitate.