Informaţii, definiţii, teoreme, formule, exerciţii şi probleme rezolvate din matematica de liceu. RSS/XML

»LIMITE DE FUNCTII

Limitele de şiruri constituie punctul de plecare pentru limite de funcţii (în

definitiv, şirurile sunt funcţii particulare) şi, de aceea, în prezentul capitol se

vor regăsi unele formule asemănătoare cu cele de la şiruri; mai mult, cu

tehnici legate de limite de funcţii, se pot calcula mult mai rapid limite ale unor

anumite şiruri.

TEORIE

Data publicarii: 26.10.2008

Definitia limitei unei functii intr-un punct (definitia lui Heine):

Fie a un punct de acumulare (finit sau infinit) al unei mulţimi E.

Se spune că L (din R, sau +/-00) este limita funcţiei f:E --> R in punctul

a, daca oricare ar fi xn din E, xn diferit de a, pentru orice n natural, xn - > a,

sirul (f(xn)), al valorilor functiei, tinde catre L (din R, sau +/-00).

Teorema clestelui (t eorema celor doi jandarmi):

Fie 3 functii f,g,h:E -> R, a un punct de acumulare pentru E si V o vecinatate a lui a.

Daca:

$a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;si$ a)\;{f(x)}\leq{g(x)}\leq{h(x)},\forall{x}\in{{\mathcal{V}}\cap{E}},x\not=a\;si

$b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=L,$ b)\;{\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{f(x)}={\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{h(x)}=L,

atunci g are limita in a si:

${\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =L.$ {\lim}_{{x}\rightarrow{a}}{g(x)} =L.

Limite remarcabile:

$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{\sin{x}}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1,\;daca\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{\sin{u(x)}}{u(x)} =1,\;daca\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.
$\lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{tgx}{x} =1.$ \lim_{{x}\rightarrow{0}}\frac{tgx}{x} =1.
$\lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{tg}{u(x)}}{u(x)} =1,\;daca\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.$ \lim_{{x}\rightarrow{a}}\frac{{tg}{u(x)}}{u(x)} =1,\;daca\;\lim_{{x}\rightarrow{a}}{u(x)}=0.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

Postat în LIMITE DE FUNCTII|Vezi comentarii (1)

EXEMPLUL 1

Data publicarii: 26.08.2010

Suport teoretic:

Functie rationala, domeniu de definitie, asimptota oblica, limite de functii, panta unei drepte, ordonata la origine, sistem de 2 ecuatii neliniare.

Enunt:

Sa se afle domeniul D de definitie al functiei f:D - > R,

$f(x)=\frac{({\alpha}+1){x^2}+{\alpha}x+1}{({\beta}^2+\beta+1)x-4},$ f(x)=\frac{({\alpha}+1){x^2}+{\alpha}x+1}{({\beta}^2+\beta+1)x-4},

α, β € R, stiind ca graficul sau admite asimptota oblica, de ecuatie y = x + 2.

Raspuns:

D = R \ {4/3}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 1

Postat în LIMITE DE FUNCTII|Vezi comentarii (0)

EXEMPLUL 2

Data publicarii: 06.11.2010

Suport teoretic:

Functia parte intreaga, limite laterale ale unei functii intr-un punct de acumulare al domeniului sau de definitie, restrictie a unei functii la un interval.

Enunt:

Fie functia reala f, de variabila reala, definita prin legea

f(x) = [(x - 5)(1 - x)], unde [a] reprezinta partea intreaga a numarului real a.

Sa se calculeze limitele laterale ale functiei f in x = 3.

Raspuns:

fS(3) = fd(3) = 3.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: EXEMPLUL 2

Postat în LIMITE DE FUNCTII|Vezi comentarii (0)