profesoronline.ro - Breviar teoretic,aplicatii din algebra,analiza,geometrie,trigonometrie,probleme rezolvate.

ATTENTION !

SI TU PARLES LE FRANCAIS, ALORS CLIQUE ICI:

http://www.profesoronline.ro/fr/

                                                BINE AI VENIT !

Dacă eşti aici, înseamnă că te interesează matematica ! Felicitări !
Vei găsi în acest site un bogat breviar teoretic, precum şi numeroase exerciţii şi probleme originale, însoţite de răspunsuri şi rezolvări, mai mult sau mai puţin detaliate (efortul personal este şi el necesar !), pentru aprofundarea cunoştinţelor acumulate în liceu, dar şi în clasele terminale ale gimnaziului.
De asemenea, sunt postate şi probleme reprezentative din manualele şcolare, sau propuse la Bac, însoţite de rezolvări care îmi aparţin.
Dacă eşti student(ă) şi matematica te însoţeşte în continuare, poţi regăsi aici informaţiile, uitate eventual, dar necesare, pentru a înţelege anumite noţiuni mai elaborate.
În sfârşit, doresc să-ţi sugerez ideea că nu am deloc intenţia de a mă substitui profesorului tău (profesoarei tale) de la şcoală !
Aş dori ca prin informaţiile (cu titlu gratuit) din acest web-site să promovăm o colaborare, în interesul tău, sfătuindu-te, în acelaşi timp, să studiezi, să doreşti să înţelegi, să reţii ce ai înţeles şi, apoi, să fii capabil(ă) să foloseşti ceea ce ai înţeles !

Prof. Emil Dumitrescu

Galaţi - ROMÂNIA

INFORMAŢII UTILE :

Pentru acces direct la acest web-site, foloseşte link-ul :

www.profesoronline.ro !

Pentru vizualizarea tuturor informaţiilor disponibile, accesează sintagma

" CLIK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: ",

situată sub textul vizibil al postului respectiv !

Ultimele informaţii, completări şi soluţii la diverse probleme de matematică, adăugate pe site.

TEORIE, 05.02.2012

Postat în TRIGONOMETRIE-gimnaziu

Definitii.

Fie un triunghi dreptunghic ABC in care mas(A) = 90°, cu notatiile consacrate:

AB = c, AC = b si BC = a, ca in desenul de mai jos:

Rapoartele trigonometrice ale unghiurilor ascutite B si C sunt definite prin formulele:

$sinB=\frac{cateta\;opusa}{ipotenuza}=\frac{b}{a},$ sinB=\frac{cateta\;opusa}{ipotenuza}=\frac{b}{a}, $sinC=\frac{cateta\;opusa}{ipotenuza}=\frac{c}{a},$ sinC=\frac{cateta\;opusa}{ipotenuza}=\frac{c}{a},

$cosB=\frac{cateta\;alaturata}{ipotenuza}=\frac{c}{a},$ cosB=\frac{cateta\;alaturata}{ipotenuza}=\frac{c}{a}, $cosC=\frac{cateta\;alaturata}{ipotenuza}=\frac{b}{a},$ cosC=\frac{cateta\;alaturata}{ipotenuza}=\frac{b}{a},

$tgB=\frac{cateta\;opusa}{cateta\;alaturata}=\frac{b}{c},$ tgB=\frac{cateta\;opusa}{cateta\;alaturata}=\frac{b}{c}, $tgC=\frac{cateta\;opusa}{cateta\;alaturata}=\frac{c}{b},$ tgC=\frac{cateta\;opusa}{cateta\;alaturata}=\frac{c}{b},

$ctgB=\frac{cateta\;alaturata}{cateta\;opusa}=\frac{c}{b},$ ctgB=\frac{cateta\;alaturata}{cateta\;opusa}=\frac{c}{b}, $ctgC=\frac{cateta\;alaturata}{cateta\;opusa}=\frac{b}{c}.$ ctgC=\frac{cateta\;alaturata}{cateta\;opusa}=\frac{b}{c}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

SISTEME DE GRADUL I , 04.02.2012

Postat în SISTEME DE ECUATII-gimnaziu

Sisteme de 2 ecuatii de gradul I, cu 2 necunoscute.

$\begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases},$ \begin{cases}ax+by=c\\dx+ey=f\end{cases}, unde a,b,c,d,e,f sunt numere reale.

Presupunand ca toti coeficientii necunoscutelor sunt nenuli (in caz contrar se obtin

sisteme particulare cu rezolvare mult simplificata) si ca ecuatiile nu sunt contradictorii

si, de asemenea, una din ele nu se obtine din cealalta prin inmultire cu un numar

nenul, avem la dispozitie 2 metode de rezolvare:

1) Metoda reducerii:

Se inmultesc ecuatiile cu numere convenabil alese, incat prin adunarea acestora, sa se

reduca una din necunoscute; se obtine o ecuatie de gradul I cu o necunoscuta, se afla

necunoscuta respectiva, se inlocuieste in una din ecuatiile initiale si se afla cealalta

necunoscuta.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: SISTEME DE GRADUL I

TEORIE, 04.02.2012

Postat în ECUATII-gimnaziu

Ecuatia de gradul I.

Ecuatia ax + b = 0, unde a si b sunt numere reale, cu a nenul, admite solutia unica:

x = (- b/a).

Exemplu: - 3x + 7 = 0 < = > x = (- 7)/(-3) < = > x = 7/3.

Ecuatia de gradul al II-lea.

Ecuatia ax² + bx + c = 0, unde a, b si c sunt numere reale, cu a nenul,

are solutii reale daca discriminantul sau este nenegativ:

Δ = b² - 4ac € [0, +00).

Acestea sunt:

$x_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{\Delta}}}{2a}.$ x_{1,2}=\frac{{-b}\pm{\sqrt{\Delta}}}{2a}.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

TEORIE, 03.02.2012

Postat în IDENTITATI REMARCABILE-gimnaziu

Identitati algebrice remarcabile:

1) (a + b)² = a² + 2ab + b²;

2) (a - b)² = a² - 2ab + b²;

3) (a + b)·(a - b) = a² - b²;

4) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

5) (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³;

6) a³ + b³ = (a + b)·(a² - ab + b²);

7) a³ - b³ = (a - b)·(a² + ab + b²);

8) (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca;

$9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};$ 9)\;\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{{a^2}-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{{a^2}-b}}{2}},\;{a,b}\geq{0},\;{{a}^{2}-{b}}\geq{0};

(formula radicalilor compusi; prezinta interes cand numarul a² - b este un patrat perfect).

10) S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n·(n + 1)/2; n € N*.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

TEORIE, 03.02.2012

Postat în MULTIMI NUMERICE-gimnaziu

Operatii:

Reuniunea a 2 multimi:

(multimea care contine elementele celor 2 multimi, luate o singura data).

A U B = {x| x € A, sau x € B}.

Generalizare:

M1 U M2 U M3 U ... U Mn = {x|x € M1 sau x € M2 sau x € M3 ... sau x € Mn }.

Intersectia:

(multimea care contine elementele comune celor 2 multimi).

A Π B = {x|x € A si x € B}.

Generalizare:

M1 Π M2 Π M3 Π ... Π Mn = {x|x € M1 si x € M2 si x € M3 ... si x € Mn }.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: TEORIE

METODE, 02.02.2012

Postat în DESCOMPUNEREA IN FACTORI-gimnaziu

1) Metoda factorului comun.

Trebuie identificat, in cazul ca exista, un factor comun al tuturor termenilor expresiei

algebrice date (este recomandabil ca acesta sa fie chiar c.m.m.d.c.).

Exemple:

1) 12x³ + 8x² + 24x = 4x(3x² + 2x + 6);

2) 15x³y² - 3x²y + 12xy = 3xy(5x²y - x + 4);

3) x²(x +2y)³ - 2xy(x + 2y)² + x(x + 2y) = x(x+2y)[x(x + 2y)² - 2y(x + 2y) + 1].

2) Μetoda folosirii formulelor de calcul prescurtat.

Trebuie sesizata, in expresia algebrica data, posibilitatea punerii in evidenta a uneia

sau a mai multor formule de calcul prescurtat, cum ar fi:

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: METODE

OPERATII CU FRACTII ORDINARE, 01.02.2012

Postat în FRACTII ORDINARE-gimnaziu

Suma algebrica a 2 sau mai multe fractii.

Exemplu:

$\frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.$ \frac{1}{6}-\frac{5}{9}+\frac{17}{10}=\frac{1\cdot15}{6\cdot15}-\frac{5\cdot10}{9\cdot10}+\frac{17\cdot9}{10\cdot9}=\frac{15}{90}-\frac{50}{90}+\frac{153}{90}=\frac{118}{90}=\frac{118:2}{90:2}=\frac{59}{45}=1\frac{14}{45}.

Au fost parcursi urmatorii pasi:

S-a calculat numitorul comun (c.m.m.m.c. al celor 3 numitori);
S-au adus fractiile la acelasi numitor (anume [6;9;10]=90), prin amplificarea fiecareia cu catul dintre 90 si numitorul acesteia;
S-a efectuat suma algebrica a numaratorilor astfel obtinuti si s-a pastrat numitorul comun;
S-a simplificat fractia obtinuta;
S-a scos intregul din fractie.

Produsul a 2 sau mai multe fractii.

${\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.$ {\frac{a}{b}}\cdot{\frac{c}{d}}=\frac{a\cdot{c}}{b\cdot{d}}.

Observatii:

Procedura este aceeasi in cazul produsului mai multor fractii;
Este recomandabil ca inaintea inmultirilor sa se efectueze toate simplificarile posibile.

CLICK AICI PENTRU A DESCOPERI MAI MULTE DESPRE: OPERATII CU FRACTII ORDINARE